Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área A da superfície da mancha em relação ao raio r do círculo para r = 200 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mancha de óleo que se espalha formando sempre um círculo. A gente precisa descobrir como a área dessa mancha muda em relação ao raio do círculo quando o raio é de 200 metros. Isso envolve um pouquinho de cálculo, mais especificamente derivadas, que é parte do conteúdo de Cálculo Diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Aqui, é a área e é o raio.

Passo 3

Agora, a gente quer encontrar a taxa de variação da área em relação ao raio, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 4

Com a derivada em mãos, podemos calcular a taxa de variação para . Substituindo por 200 na expressão da derivada:

Resposta

A taxa de variação da área em relação ao raio quando é .

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