Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área
da superfície da mancha em relação ao raio
do círculo para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mancha de óleo que se espalha formando sempre um círculo. A gente precisa descobrir como a área
dessa mancha muda em relação ao raio
do círculo quando o raio é de 200 metros. Isso envolve um pouquinho de cálculo, mais especificamente derivadas, que é parte do conteúdo de Cálculo Diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
Aqui,
é a área e
é o raio.
Passo 3
Agora, a gente quer encontrar a taxa de variação da área em relação ao raio, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Com a derivada em mãos, podemos calcular a taxa de variação para
. Substituindo
por 200 na expressão da derivada:
Resposta
A taxa de variação da área em relação ao raio quando
é
.