Uma escada com 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Seja θ o ângulo entre o topo da escada e a parede e x a distância da base da escada até a parede. Se a base da escada escorregar para longe da parede, com que rapidez x variará em relação a θ quando θ = π/3?

Passo 1

Beleza, então temos uma escada de 6 metros encostada numa parede vertical. A gente quer descobrir como a distância da base da escada até a parede (que a gente chama de $ x $) muda conforme o ângulo $ \theta $ entre o topo da escada e a parede muda. Para resolver isso, vamos usar trigonometria e cálculo, especificamente derivadas, para entender essa relação de taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar $ x $ com o ângulo $ \theta $ usando trigonometria. A escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão. A hipotenusa desse triângulo é a escada que tem 6 metros. O ângulo $ \theta $ está entre a hipotenusa e a parede, então podemos usar a função seno para relacionar $ x $ e $ \theta $:
x
Aqui, $ \sin(\theta) $ representa a razão entre o cateto oposto ao ângulo $ \theta $ (que é $ x $) e a hipotenusa (6 metros).

Passo 3

Agora, queremos saber como $ x $ varia com relação a $ \theta $, ou seja, encontrar $ \frac{dx}{d\theta} $. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ \theta $:
x
A derivada de $ \sin(\theta) $ é $ \cos(\theta) $, por isso multiplicamos por 6.

Passo 4

Finalmente, vamos calcular $ \frac{dx}{d\theta} $ quando $ \theta = \frac{\pi}{3} $. Sabemos que:
dxdtheta
Então,
theta = pi3

Resposta

Quando $ \theta = \frac{\pi}{3} $, a rapidez com que $ x $ varia em relação a $ \theta $ é de 3 metros por radiano.

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