Uma escada está apoiada em uma parede lisa (sem atrito). A escada pesa 200 N e seu centro de massa está posicionado a 0,4 L a partir da base, onde L é o comprimento da escada. A escada faz um ângulo de 50^circ com o chão. (b) Qual deve ser o valor mínimo do coeficiente de atrito?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma escada apoiada em uma parede lisa (sem atrito) que pesa 200 N. O centro de massa da escada está a 0,4,L da base, onde L é o comprimento da escada. A escada forma um ângulo de 50^circ com o chão. Precisamos descobrir o coeficiente de atrito mínimo necessário no chão para evitar que a escada deslize. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de equilíbrio de forças e momentos da física.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na escada:
  1. Peso ( P): Atua para baixo no centro de massa da escada, com valor de 200 N.
  2. Força normal do chão ( N): Atua para cima na base da escada.
  3. Força de atrito ( f): Atua horizontalmente na base da escada, impedindo o deslizamento.
  4. Força normal da parede ( Np): Como a parede é lisa, essa força atua horizontalmente, empurrando a escada.

Passo 3

Como a escada está em equilíbrio, a soma das forças horizontais e verticais deve ser zero. Vamos escrever as equações de equilíbrio:
  • Equilíbrio vertical:
    N = P
    Isso significa que a força normal do chão é igual ao peso da escada, ou seja, N = 200,N.
  • Equilíbrio horizontal:
    f = Np

Passo 4

Além disso, para que a escada não deslize, a força de atrito precisa ser suficiente para equilibrar o torque causado pelo peso. Vamos calcular os momentos em relação à base da escada.
A distância perpendicular do peso em relação à base é 0,4,L times cos(50^circ).
O momento causado pela força normal da parede é Np times L times sin(50^circ).
Como a escada está em equilíbrio, esses momentos devem ser iguais:
P times 0,4,L times cos(50^circ) = Np times L times sin(50^circ)
Simplificando, cancelamos o L:
0,4 times P times cos(50^circ) = Np times sin(50^circ)
Substituindo P = 200,N:
0,4 times 200 times cos(50^circ) = Np times sin(50^circ)
80 times cos(50^circ) = Np times sin(50^circ)

Passo 5

Agora, isolamos Np:
Np = 80 times cos(50^circ)sin(50^circ)
Calculando os valores trigonométricos:
cos(50^circ) approx 0,6428
sin(50^circ) approx 0,7660
Então:
Np = 80 times 0,64280,7660
Np approx 51,4240,7660 approx 67,1,N

Passo 6

Sabemos que a força de atrito f é igual a Np, e que:
f = mu times N
Onde mu é o coeficiente de atrito e N = 200,N.
Então:
mu = fN = 67,1200
mu approx 0,3355

Resposta

O coeficiente de atrito mínimo necessário é aproximadamente 0,34.

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