Uma escada está apoiada em uma parede lisa (sem atrito). A escada pesa 200 N e seu centro de massa está posicionado a 0,4 L a partir da base, onde L é o comprimento da escada. A escada faz um ângulo de 50^circ com o chão. (a) Quanto deve ser a força de atrito com o chão para que a escada não escorregue?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é descobrir qual é a força de atrito que o chão precisa exercer para que a escada não deslize. Estamos lidando com estática, que é a parte da física que estuda corpos em equilíbrio, ou seja, sem se mover. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças que atuam na escada e como elas se equilibram.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que estão agindo na escada:
  1. Peso da escada ( ): A escada pesa 200 N, e seu centro de massa está a da base.
  2. Força normal do chão ( ): É a força que o chão exerce na escada perpendicularmente.
  3. Força de atrito ( ): É a força que impede a escada de escorregar para fora.
  4. Força normal da parede ( ): Como a parede é lisa, essa força é horizontal.

Passo 3

Como a escada está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e também a soma dos torques (momentos) deve ser zero. Vamos começar escrevendo essas condições:
  • Equilíbrio horizontal: f = Nparede
  • Equilíbrio vertical: N = P
Isso significa que a força de atrito é igual à força que a parede exerce na escada, e a força normal do chão é igual ao peso da escada.

Passo 4

Agora, vamos calcular os torques. Escolhemos um ponto de rotação para simplificar os cálculos. Vamos usar a base da escada como ponto de rotação. A soma dos torques em relação a esse ponto deve ser zero:
sum tau = 0
As forças que causam torque são o peso da escada e a força da parede. A força de atrito e a força normal do chão não causam torque porque passam pelo ponto de rotação.

Passo 5

Vamos calcular o torque causado pelo peso da escada. O torque é dado por:
tauP = P times distância perpendicular â
A distância perpendicular é a componente horizontal da posição do centro de massa da escada, que é tauNparede = Nparede times L sin(50^circ) .
O torque causado pela força da parede é:
P times 0,4L cos(50^circ) = Nparede times L sin(50^circ)
Como a escada não está girando, esses torques devem se equilibrar:

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por P times 0,4 cos(50^circ) = Nparede times sin(50^circ) :
f = P times 0,4 cos(50^circ)sin(50^circ)
Lembrando que do Passo 3 sabemos que , então:

Passo 7

Agora, substituímos os valores conhecidos:
f = 200 , N times 0,4 cos(50^circ)sin(50^circ)
Calculando os valores trigonométricos:
cos(50^circ) approx 0,6428 sin(50^circ) approx 0,7660
Então:
f = 200 times 0,4 times 0,64280,7660 approx 200 times 0,4 times 0,64280,7660 approx 51,420,7660 approx 67,13 , N

Resposta

A força de atrito necessária para que a escada não escorregue é aproximadamente 67,13 N.

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