Uma escada está apoiada em uma parede lisa (sem atrito). A escada pesa 200 N e seu centro de massa está posicionado a
a partir da base, onde L é o comprimento da escada. A escada faz um ângulo de
com o chão. (a) Quanto deve ser a força de atrito com o chão para que a escada não escorregue?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é descobrir qual é a força de atrito que o chão precisa exercer para que a escada não deslize. Estamos lidando com estática, que é a parte da física que estuda corpos em equilíbrio, ou seja, sem se mover. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças que atuam na escada e como elas se equilibram.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que estão agindo na escada:
- Peso da escada (
): A escada pesa 200 N, e seu centro de massa está a da base. - Força normal do chão (
): É a força que o chão exerce na escada perpendicularmente. - Força de atrito (
): É a força que impede a escada de escorregar para fora. - Força normal da parede (
): Como a parede é lisa, essa força é horizontal.
Passo 3
Como a escada está em equilíbrio, a soma das forças na horizontal e na vertical deve ser zero, e também a soma dos torques (momentos) deve ser zero. Vamos começar escrevendo essas condições:
- Equilíbrio horizontal:
- Equilíbrio vertical:
Isso significa que a força de atrito é igual à força que a parede exerce na escada, e a força normal do chão é igual ao peso da escada.
Passo 4
Agora, vamos calcular os torques. Escolhemos um ponto de rotação para simplificar os cálculos. Vamos usar a base da escada como ponto de rotação. A soma dos torques em relação a esse ponto deve ser zero:
As forças que causam torque são o peso da escada e a força da parede. A força de atrito e a força normal do chão não causam torque porque passam pelo ponto de rotação.
Passo 5
Vamos calcular o torque causado pelo peso da escada. O torque é dado por:
A distância perpendicular é a componente horizontal da posição do centro de massa da escada, que é
.
O torque causado pela força da parede é:
Como a escada não está girando, esses torques devem se equilibrar:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que do Passo 3 sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Calculando os valores trigonométricos:
Então:
Resposta
A força de atrito necessária para que a escada não escorregue é aproximadamente 67,13 N.
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