Uma escada está apoiada em uma parede lisa (sem atrito). A escada pesa 200 N e seu centro de massa está posicionado a 0,4 L a partir da base, onde L é o comprimento da escada. A escada faz um ângulo de 50^circ com o chão. (a) Quanto deve ser a força de atrito com o chão para que a escada não escorregue? (b) Qual deve ser o valor mínimo do coeficiente de atrito?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre estática envolvendo uma escada apoiada numa parede lisa. Na matéria, estamos lidando com forças e equilíbrio de torques. Para resolver, vamos precisar entender as forças que atuam na escada e usar as condições de equilíbrio estático para encontrar a força de atrito e o coeficiente de atrito mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na escada:
  • Peso §: A escada pesa 200 N e seu centro de massa está a 0,4L da base.
  • Normal na parede (N₁): Como a parede é lisa, essa força é perpendicular à parede.
  • Normal no chão (N₂): É a força que o chão exerce na escada para sustentá-la.
  • Atrito no chão (f): É a força que impede a escada de escorregar.

Passo 3

Vamos desenhar um diagrama de corpo livre para visualizar melhor essas forças. Imagine a escada apoiada na parede formando um ângulo de 50^circ com o chão. O peso age verticalmente para baixo no centro da escada. A força normal na parede age horizontalmente para a direita, e a normal no chão age verticalmente para cima. A força de atrito atua horizontalmente para a esquerda, impedindo a escada de deslizar.

Passo 4

Como a escada está em equilíbrio, a soma das forças em todas as direções deve ser zero. Vamos escrever as equações de equilíbrio:
Equilíbrio horizontal:
N₁ = f
Equilíbrio vertical:
N₂ = P = 200, N

Passo 5

Agora, vamos considerar os torques para garantir que a escada não gire. Vamos calcular os torques em relação à base da escada para eliminar N₂ e f da equação.
A condição de equilíbrio de torques é:
N₁ cdot L cdot cos(50°) = P cdot 0,4L cdot sin(50°)

Passo 6

Simplificando a equação, podemos cancelar L dos dois lados:
N₁ cdot cos(50°) = 0,4 cdot P cdot sin(50°)
Substituindo P = 200, N:
N₁ cdot cos(50°) = 0,4 cdot 200, N cdot sin(50°)

Passo 7

Calculando os valores trigonométricos:
cos(50°) approx 0,6428
sin(50°) approx 0,7660
Substituindo:
N₁ cdot 0,6428 = 0,4 cdot 200, N cdot 0,7660
N₁ cdot 0,6428 = 61,28, N

Passo 8

Resolvendo para N₁:
N₁ = 61,28, N0,6428 approx 95,4, N

Passo 9

Lembrando que f = N₁, então a força de atrito necessária para evitar o escorregamento é aproximadamente 95,4 N.

Resposta

(a) A força de atrito necessária é aproximadamente 95,4, N.

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