Um túnel de 152 m de comprimento,
de altura e
de largura (com teto plano) é construído a
abaixo do solo. O teto do túnel será totalmente sustentado por colunas retangulares de aço, cuja tensão de ruptura é
. A área da seção transversal de cada coluna tem área de
. (a) Qual o peso total suportado pelas colunas? (b) Quantas colunas serão necessárias para que a tensão suportada por cada uma seja a metade da tensão de ruptura?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um túnel que precisa ser sustentado por colunas de aço. O exercício envolve dois assuntos principais: força e tensão em estruturas. Para resolver, vamos precisar calcular o peso total do túnel que as colunas vão sustentar e depois determinar quantas colunas são necessárias para que cada uma suporte apenas metade da tensão que pode aguentar antes de quebrar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o peso total que as colunas precisam sustentar. O peso é resultado da força da gravidade agindo sobre a massa do túnel. Para isso, precisamos encontrar o volume do túnel e depois calcular sua massa usando a densidade do solo ou do material do túnel, caso seja fornecida. Porém, como não temos a densidade, vamos presumir que o peso total seja diretamente dado ou que possamos trabalhar com as informações fornecidas.
Passo 3
Olha só, porém, o enunciado não nos dá a densidade ou o material do túnel, mas sabemos que o túnel está 61,5 metros abaixo do solo e tem dimensões de 152 metros de comprimento, 7,18 metros de altura e 5,77 metros de largura. Para simplificar, vamos considerar que o peso total é equivalente à força necessária para manter o teto do túnel no lugar. Essa força é o peso suportado pelas colunas.
Passo 4
Vamos calcular o volume do túnel:
Passo 5
Agora, se tivermos a densidade (
) do material, podemos encontrar a massa (
) usando:
E o peso (
) é:
Onde
é a aceleração da gravidade. Porém, como não temos
, vamos considerar que a força necessária para sustentar o túnel é fornecida pelo problema ou que devemos trabalhar apenas com as informações dadas.
Passo 6
Considerando que o peso total suportado pelas colunas é a força necessária para manter o túnel estável, sem informações adicionais sobre a densidade, vamos assumir que o peso total (
) precisa ser calculado de outra forma ou que será parte da resposta.
Passo 7
Dado que essa parte está um pouco vaga, vamos focar na parte (b) do problema, que nos dá mais informações para calcular o número de colunas necessárias.
Passo 8
Para que a tensão em cada coluna seja a metade da tensão de ruptura, precisamos primeiro entender que tensão (
) é a força (
) dividida pela área (
):
Queremos que cada coluna suporte a metade da tensão de ruptura:
Resposta
(a) O peso total suportado pelas colunas é aproximadamente
multiplicado pela densidade do material (não fornecida no enunciado).
(b) Para que a tensão em cada coluna seja metade da tensão de ruptura, seriam necessárias colunas.
(b) Para que a tensão em cada coluna seja metade da tensão de ruptura, seriam necessárias
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Seja
.
d) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de .
d) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de