Uma escada norte-americana uniforme de comprimento 40pés (1pé=0,3048m) pesa 80 libras (1libra=0,4536kg) faz um ângulo de 53^circ com o chão e está apoiada em uma parede sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é 0,5. Que distância ao longo da escada um homem norte-americano pesando 200 libras poderá subir sem que a escada escorregue?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma escada uniformemente distribuída, com 40 pés de comprimento, fazendo um ângulo de com o chão. Ela pesa 80 libras e está apoiada em uma parede sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é 0,5. Queremos descobrir até que distância, ao longo da escada, um homem que pesa 200 libras pode subir sem que a escada escorregue.
Aqui, vamos usar conceitos de estática, que estuda as condições de equilíbrio de corpos. Precisaremos analisar as forças atuantes na escada e garantir que o sistema esteja em equilíbrio, ou seja, sem movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na escada:
  1. Peso da escada ( ): atua no centro da escada.
  2. Peso do homem ( ): atua no ponto onde o homem está na escada.
  3. Força normal ( ): força perpendicular exercida pelo chão na base da escada.
  4. Força de atrito ( ): impede que a escada escorregue.
  5. Força normal na parede ( ): força perpendicular exercida pela parede na parte superior da escada.
Como a parede é sem atrito, não há força de atrito na parede, apenas a força normal.

Passo 3

Vamos escolher o ponto de apoio da escada na base como o ponto de rotação para calcular os torques. O torque é uma medida de quanto uma força faz uma rotação ao redor de um ponto.
Para que a escada esteja em equilíbrio, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário.
Primeiro, calculamos o torque devido ao peso da escada ( taul = Wl times ( L2 ) times cos(theta) ):
  • O peso da escada atua no centro, que está a taul = 80 , lb times 20 , ft times cos(53^circ) da base, onde pés.
  • O torque ( ) é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, calculamos o torque devido ao peso do homem ( taum = Wm times x times cos(theta) ):
  • O peso do homem atua na distância taum = 200 , lb times x times cos(53^circ) ao longo da escada.
  • O torque ( ) é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Para que a escada não escorregue, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário. A força de atrito máxima fmax = mus times N que pode ser exercida sem escorregar é:
N = Wl + Wm = 80 , lb + 200 , lb = 280 , lb
Como a escada está em equilíbrio vertical, a força normal fmax = 0,5 times 280 , lb = 140 , lb é igual à soma dos pesos:
Então,

Passo 6

Igualamos os torques que causam o giro para evitar o escorregamento:
taul + taum = fmax times L times sin(theta)
Substituindo os valores:
80 times 20 times cos(53^circ) + 200 times x times cos(53^circ) = 140 times 40 times sin(53^circ)
Resolvendo para 1600 times cos(53^circ) + 200x times cos(53^circ) = 5600 times sin(53^circ) :
200x times cos(53^circ) = 5600 times sin(53^circ) - 1600 times cos(53^circ)
x = 5600 times sin(53^circ) - 1600 times cos(53^circ)200 times cos(53^circ)
sin(53^circ) approx 0,7986 e cos(53^circ) approx 0,6018
Calculando os valores das funções trigonométricas:
x = 5600 times 0,7986 - 1600 times 0,6018200 times 0,6018
Substituindo:
x = 4461.6 - 962.88120.36 approx 3498.72120.36 approx 29.11 , ft

Resposta

O homem pode subir até aproximadamente 29,1 pés ao longo da escada sem que ela escorregue.

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