Uma escada norte-americana uniforme de comprimento 40pés (1pé=0,3048m) pesa 80 libras (1libra=0,4536kg) faz um ângulo de
com o chão e está apoiada em uma parede sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é 0,5. Que distância ao longo da escada um homem norte-americano pesando 200 libras poderá subir sem que a escada escorregue?
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma escada uniformemente distribuída, com 40 pés de comprimento, fazendo um ângulo de
com o chão. Ela pesa 80 libras e está apoiada em uma parede sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre a escada e o chão é 0,5. Queremos descobrir até que distância, ao longo da escada, um homem que pesa 200 libras pode subir sem que a escada escorregue.
Aqui, vamos usar conceitos de estática, que estuda as condições de equilíbrio de corpos. Precisaremos analisar as forças atuantes na escada e garantir que o sistema esteja em equilíbrio, ou seja, sem movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na escada:
- Peso da escada (
): atua no centro da escada. - Peso do homem (
): atua no ponto onde o homem está na escada. - Força normal (
): força perpendicular exercida pelo chão na base da escada. - Força de atrito (
): impede que a escada escorregue. - Força normal na parede (
): força perpendicular exercida pela parede na parte superior da escada.
Como a parede é sem atrito, não há força de atrito na parede, apenas a força normal.
Passo 3
Vamos escolher o ponto de apoio da escada na base como o ponto de rotação para calcular os torques. O torque é uma medida de quanto uma força faz uma rotação ao redor de um ponto.
Para que a escada esteja em equilíbrio, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário.
Primeiro, calculamos o torque devido ao peso da escada (
):
- O peso da escada atua no centro, que está a
da base, onde pés. - O torque (
) é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, calculamos o torque devido ao peso do homem (
):
- O peso do homem atua na distância
ao longo da escada. - O torque (
) é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para que a escada não escorregue, a soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário. A força de atrito máxima
que pode ser exercida sem escorregar é:
Como a escada está em equilíbrio vertical, a força normal
é igual à soma dos pesos:
Então,
Passo 6
Igualamos os torques que causam o giro para evitar o escorregamento:
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Calculando os valores das funções trigonométricas:
Substituindo:
Resposta
O homem pode subir até aproximadamente 29,1 pés ao longo da escada sem que ela escorregue.
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