Uma escada de 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sabendo-se que o pé da escada se afasta da parede a uma velocidade de
, qual a velocidade com que cai verticalmente o topo da escada, no momento em que a base da escada dista 4 metros da parede?
Passo 1
Vamos analisar o problema: Temos uma escada de 5 metros apoiada em uma parede vertical. O pé da escada está se afastando da parede a uma velocidade de
. Queremos encontrar a velocidade com que o topo da escada está descendo no momento em que a base da escada está a 4 metros da parede.
Aqui, estamos lidando com derivadas relacionadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as velocidades de mudança das posições da base e do topo da escada.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada, que tem comprimento constante de 5 metros.
- Um cateto é a distância da base da escada até a parede, que chamaremos de
. - O outro cateto é a altura do topo da escada em relação ao chão, que chamaremos de
.
A relação entre esses lados, pelo Teorema de Pitágoras, é:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
para relacionar as velocidades.
Isso nos dá:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
Passo 4
Queremos encontrar
, que é a velocidade com que o topo da escada está descendo. Vamos rearranjar a equação:
Então:
Passo 5
No momento em que a base da escada está a 4 metros da parede (
m), precisamos encontrar
usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 6
Sabemos que
(convertendo centímetros para metros). Substituindo os valores na equação:
Resposta
A velocidade com que o topo da escada está descendo é aproximadamente
.