Uma escada de 5 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sabendo-se que o pé da escada se afasta da parede a uma velocidade de 10 cm/s, qual a velocidade com que cai verticalmente o topo da escada, no momento em que a base da escada dista 4 metros da parede?

Passo 1

Vamos analisar o problema: Temos uma escada de 5 metros apoiada em uma parede vertical. O pé da escada está se afastando da parede a uma velocidade de . Queremos encontrar a velocidade com que o topo da escada está descendo no momento em que a base da escada está a 4 metros da parede.
Aqui, estamos lidando com derivadas relacionadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as velocidades de mudança das posições da base e do topo da escada.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é a escada, que tem comprimento constante de 5 metros.
  • Um cateto é a distância da base da escada até a parede, que chamaremos de x.
  • O outro cateto é a altura do topo da escada em relação ao chão, que chamaremos de y.
A relação entre esses lados, pelo Teorema de Pitágoras, é:
Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo t para relacionar as velocidades.
Isso nos dá:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:

Passo 4

Queremos encontrar , que é a velocidade com que o topo da escada está descendo. Vamos rearranjar a equação:
Então:

Passo 5

No momento em que a base da escada está a 4 metros da parede ( m), precisamos encontrar y usando o Teorema de Pitágoras:

Passo 6

Sabemos que (convertendo centímetros para metros). Substituindo os valores na equação:

Resposta

A velocidade com que o topo da escada está descendo é aproximadamente .

Exercícios relacionados