Um tanque com forma de cone invertido em altura de 20 metros e raio de 4 metros. A água está fluindo para dentro do tanque a uma taxa de
. Quão rápido se eleva o nível] da água ao tanque quando a água estiver com 5 metros de profundidade?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um tanque com forma de cone invertido, ou seja, o vértice para baixo. As dimensões do tanque são 20 metros de altura e um raio de 4 metros na base. A água está entrando no tanque a uma taxa de
. Queremos descobrir quão rápido o nível da água está subindo quando a profundidade da água for de 5 metros.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o volume da água no tanque com a profundidade da água. Como o tanque é um cone, o volume
de um cone é dado por:
onde
é o raio da base do cone e
é a altura (ou profundidade da água, nesse caso).
No nosso caso, o raio e a altura do tanque completo são 4 metros e 20 metros, respectivamente. Mas à medida que a água entra, o raio da água também muda proporcionalmente à profundidade. Podemos estabelecer uma relação entre o raio
e a altura
da água usando semelhança de triângulos:
Passo 3
Substituindo a relação
na fórmula do volume, temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo, ou seja,
. Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é
.
Vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Substituindo
e
metros:
Resposta
Quando a profundidade da água for de 5 metros, o nível da água está subindo a uma taxa de
.