Um tanque com forma de cone invertido em altura de 20 metros e raio de 4 metros. A água está fluindo para dentro do tanque a uma taxa de 2 m^3 / min. Quão rápido se eleva o nível] da água ao tanque quando a água estiver com 5 metros de profundidade?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um tanque com forma de cone invertido, ou seja, o vértice para baixo. As dimensões do tanque são 20 metros de altura e um raio de 4 metros na base. A água está entrando no tanque a uma taxa de . Queremos descobrir quão rápido o nível da água está subindo quando a profundidade da água for de 5 metros.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar o volume da água no tanque com a profundidade da água. Como o tanque é um cone, o volume de um cone é dado por:
onde é o raio da base do cone e é a altura (ou profundidade da água, nesse caso).
No nosso caso, o raio e a altura do tanque completo são 4 metros e 20 metros, respectivamente. Mas à medida que a água entra, o raio da água também muda proporcionalmente à profundidade. Podemos estabelecer uma relação entre o raio e a altura da água usando semelhança de triângulos:

Passo 3

Substituindo a relação na fórmula do volume, temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da altura da água em relação ao tempo, ou seja, . Sabemos que a taxa de variação do volume em relação ao tempo é .
Vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, resolvemos para :
Substituindo e metros:

Resposta

Quando a profundidade da água for de 5 metros, o nível da água está subindo a uma taxa de .

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