Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente envolvendo limites, funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como se comportam as funções seno e logaritmo perto de zero e utilizar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. Sabemos que, quando
está próximo de zero, a função seno pode ser aproximada pelo próprio argumento: . Isso porque o seno de um ângulo muito pequeno é quase igual ao próprio ângulo quando medido em radianos. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, substituímos essas aproximações na expressão do limite:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz
. Assim:
Passo 5
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende a
. Sabemos que, conforme
se aproxima de zero pela direita,
tende a
. Portanto,
tende a zero, já que
é uma constante.
Resposta
O limite é igual a 1.
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