lim x 0^+ ln (sen a x)ln (sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente envolvendo limites, funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar como se comportam as funções seno e logaritmo perto de zero e utilizar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções envolvidas. Sabemos que, quando sen a x approx a x e sen x approx x está próximo de zero, a função seno pode ser aproximada pelo próprio argumento: . Isso porque o seno de um ângulo muito pequeno é quase igual ao próprio ângulo quando medido em radianos. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão do limite:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão ln (a x)ln (x) = ln a + ln xln x = ln xln x + ln aln x = 1 + ln aln x . Podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz . Assim:

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de limx to 0^+ (1 + ln aln x) = 1 + 0 = 1 quando tende a . Sabemos que, conforme se aproxima de zero pela direita, tende a . Portanto, tende a zero, já que é uma constante.

Resposta

O limite é igual a 1.

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