Em uma escala linear de temperatura X , a água congela a -130^circ X e evapora a 380^circ X. Em outra escala linear de temperatura Y, a água congela a -70^circ Y e evapora a -30^circ Y. Uma temperatura de 50^circ Y corresponde a que temperatura na escala X ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas escalas de temperatura lineares, X e Y. A gente sabe que na escala X, a água congela em -130^circ X e evapora em 380^circ X. Na escala Y, o congelamento ocorre em -70^circ Y e a evaporação em -30^circ Y. A missão aqui é descobrir qual temperatura na escala X corresponde a 50^circ Y. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar duas escalas lineares usando equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que escalas de temperatura lineares podem ser relacionadas por uma função do tipo:
Y = a cdot X + b
Aqui, a e b são constantes que precisamos descobrir. Essas constantes vão ajustar a escala X para a escala Y.

Passo 3

Para encontrar a e b, vamos usar os pontos de congelamento e evaporação que já conhecemos. Sabemos que:
Quando X = -130, Y = -70
E quando X = 380, Y = -30
Vamos substituir esses valores na equação para formar um sistema de equações:
  1. -70 = a cdot (-130) + b
  2. -30 = a cdot 380 + b

Passo 4

Agora temos duas equações:
  1. -70 = -130a + b (Equação 1)
  2. -30 = 380a + b (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar a e b. Primeiro, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar b:
(-30) - (-70) = 380a + b - (-130a + b)
Simplificando:
40 = 510a
Então:
a = 40510 = 451

Passo 5

Agora que temos o valor de a, vamos encontrar b usando a Equação 1:
-70 = -130 cdot 451 + b
Calculando:
-70 = -52051 + b
Isolando b:
b = -70 + 52051
Convertendo -70 para ter o mesmo denominador:
b = -357051 + 52051 = -305051

Passo 6

Então, a relação entre as escalas é:
Y = 451 cdot X - 305051
Mas a gente precisa da relação inversa, ou seja, de Y para X. Vamos reescrever a equação para resolver X em função de Y:
X = 514(Y + 305051) = 514Y + 30504
Simplificando:
X = 514Y + 762.5

Passo 7

Agora, basta substituir Y = 50 na equação para encontrar X:
X = 514 cdot 50 + 762.5
Calculando:
X = 637.5 + 762.5 = 1400

Resposta

A temperatura de 50^circ Y corresponde a 1400^circ X na escala X.

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