Em uma escala linear de temperatura X , a água congela a e evapora a . Em outra escala linear de temperatura Y, a água congela a e evapora a . Uma temperatura de corresponde a que temperatura na escala X ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas escalas de temperatura lineares, X e Y. A gente sabe que na escala X, a água congela em e evapora em . Na escala Y, o congelamento ocorre em e a evaporação em . A missão aqui é descobrir qual temperatura na escala X corresponde a . Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar duas escalas lineares usando equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que escalas de temperatura lineares podem ser relacionadas por uma função do tipo:
Aqui, e são constantes que precisamos descobrir. Essas constantes vão ajustar a escala X para a escala Y.

Passo 3

Para encontrar e , vamos usar os pontos de congelamento e evaporação que já conhecemos. Sabemos que:
Quando ,
E quando ,
Vamos substituir esses valores na equação para formar um sistema de equações:

Passo 4

Agora temos duas equações:
  1. (Equação 1)
  2. (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Primeiro, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar :
Simplificando:
Então:

Passo 5

Agora que temos o valor de , vamos encontrar usando a Equação 1:
Calculando:
Isolando :
Convertendo para ter o mesmo denominador:

Passo 6

Então, a relação entre as escalas é:
Mas a gente precisa da relação inversa, ou seja, de Y para X. Vamos reescrever a equação para resolver X em função de Y:
Simplificando:

Passo 7

Agora, basta substituir na equação para encontrar :
Calculando:

Resposta

A temperatura de corresponde a na escala X.

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