Considere uma partícula presa em um poço com potencial dado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula presa num poço de potencial que é zero entre
e
, e infinito fora desse intervalo. Isso é conhecido como “poço de potencial infinito”. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente as soluções da equação de Schrödinger para esse tipo de potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, o comportamento da partícula é descrito por uma função de onda
. Essa função deve satisfazer a equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é o potencial, e
a energia total da partícula.
Passo 3
No nosso caso, o potencial
é zero dentro do poço (
) e infinito fora dele. Isso significa que a partícula está confinada entre
e
, e a função de onda
deve ser zero fora desse intervalo porque a probabilidade de encontrar a partícula lá é nula.
Passo 4
Dentro do poço (
), a equação de Schrödinger simplifica para:
Podemos reescrever isso como:
onde
.
Passo 5
A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de senos e cossenos:
Mas, devido às condições de contorno do poço infinito (a função de onda deve ser zero em
e
), podemos determinar os valores de
e
.
Passo 6
Aplicando a condição
:
Então, a função de onda fica:
Passo 7
Aplicando agora a condição
:
Para que isso seja verdade (com
), o argumento do seno deve ser múltiplo de
:
Passo 8
Da relação
e
, podemos resolver para a energia
:
Passo 9
Finalmente, a função de onda normalizada é:
Resposta
As energias permitidas da partícula são
para
e as funções de onda correspondentes são
.