Considere uma partícula presa em um poço com potencial dado por
V(x)=rll 0, & se & 0 <= x <= a infty, & se & fora do intervalo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula presa num poço de potencial que é zero entre e , e infinito fora desse intervalo. Isso é conhecido como “poço de potencial infinito”. Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente as soluções da equação de Schrödinger para esse tipo de potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, o comportamento da partícula é descrito por uma função de onda -hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x) . Essa função deve satisfazer a equação de Schrödinger independente do tempo:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o potencial, e a energia total da partícula.

Passo 3

No nosso caso, o potencial é zero dentro do poço ( ) e infinito fora dele. Isso significa que a partícula está confinada entre e , e a função de onda deve ser zero fora desse intervalo porque a probabilidade de encontrar a partícula lá é nula.

Passo 4

Dentro do poço ( -hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x) ), a equação de Schrödinger simplifica para:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0
Podemos reescrever isso como:
onde .

Passo 5

A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de senos e cossenos:
psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Mas, devido às condições de contorno do poço infinito (a função de onda deve ser zero em e ), podemos determinar os valores de e .

Passo 6

Aplicando a condição 0 = A sin(0) + B cos(0) Rightarrow B = 0 :
psi(x) = A sin(kx)
Então, a função de onda fica:

Passo 7

Aplicando agora a condição 0 = A sin(ka) :
ka = npi onde n = 1, 2, 3, dots
Para que isso seja verdade (com ), o argumento do seno deve ser múltiplo de :

Passo 8

Da relação k = npia = raiz2mEnhbar^2 Rightarrow En = n^2 pi^2 hbar^22m a^2 e , podemos resolver para a energia :

Passo 9

Finalmente, a função de onda normalizada é:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa)

Resposta

As energias permitidas da partícula são para e as funções de onda correspondentes são .

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