Escalone, resolva e classifique os sistemas lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de escalonamento. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de 4x - 3y + z = 3 3x + y + 4z = -1 5x - 2y + 3z = 2 , e que satisfazem todas as três equações simultaneamente. Para isso, vamos precisar manipular as equações para simplificar o sistema passo a passo até chegar na solução.
As equações que temos são:
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações de forma que a primeira variável () tenha o mesmo coeficiente em todas. Olhamos para a primeira equação já com , mas para facilitar, podemos trocar as equações de lugar se necessário. Porém, neste caso, vamos seguir com a primeira equação como está.
Passo 3
Vamos usar a primeira equação para eliminar a variável (3x + y + 4z = -1) times 43 Rightarrow 4x + 43y + 163z = -43 das outras duas equações. Para isso, precisamos que o coeficiente de (5x - 2y + 3z = 2) times 45 Rightarrow 4x - 85y + 125z = 85 nas outras equações seja o mesmo que na primeira, ou seja, 4.
Na segunda equação, temos , então multiplicamos toda a segunda equação por :
Na terceira equação, temos , então multiplicamos por :
Passo 4
Agora, subtraímos a primeira equação das equações ajustadas para eliminar (4x + 43y + 163z = -43) - (4x - 3y + z = 3) Rightarrow 43y + 163z + 3y - z = -43 - 3 :
Observamos que tanto a Equação 4 quanto a Equação 5 são iguais: . Isso significa que temos uma equação redundante, então vamos utilizar apenas uma delas para simplificar.
Passo 6
Vamos expressar y = -1 - z em termos de a partir da equação :
Passo 7
Agora, substituímos 4x - 3(-1 - z) + z = 3 4x + 3 + 3z + z = 3 4x + 3 + 4z = 3 4x + 4z = 0 x + z = 0 Rightarrow x = -z na primeira equação original para encontrar :
Passo 8
Temos x = -t y = -1 - t z = t e . Agora, podemos atribuir um valor a para encontrar valores específicos para e .
Vamos escolher , onde é um parâmetro real. Então:
Isso significa que o sistema possui infinitas soluções dependentes de .