Escalone, resolva e classifique os sistemas lineares: ccc4 x- & 3 y+ z=3 3 x+y+ 4 z=-1 5 x- & 2 y+ 3 z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de escalonamento. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de 4x - 3y + z = 3 3x + y + 4z = -1 5x - 2y + 3z = 2 , e que satisfazem todas as três equações simultaneamente. Para isso, vamos precisar manipular as equações para simplificar o sistema passo a passo até chegar na solução.
As equações que temos são:

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações de forma que a primeira variável ( ) tenha o mesmo coeficiente em todas. Olhamos para a primeira equação já com , mas para facilitar, podemos trocar as equações de lugar se necessário. Porém, neste caso, vamos seguir com a primeira equação como está.

Passo 3

Vamos usar a primeira equação para eliminar a variável (3x + y + 4z = -1) times 43 Rightarrow 4x + 43y + 163z = -43 das outras duas equações. Para isso, precisamos que o coeficiente de (5x - 2y + 3z = 2) times 45 Rightarrow 4x - 85y + 125z = 85 nas outras equações seja o mesmo que na primeira, ou seja, 4.
Na segunda equação, temos , então multiplicamos toda a segunda equação por :
Na terceira equação, temos , então multiplicamos por :

Passo 4

Agora, subtraímos a primeira equação das equações ajustadas para eliminar (4x + 43y + 163z = -43) - (4x - 3y + z = 3) Rightarrow 43y + 163z + 3y - z = -43 - 3 :
Para a segunda equação ajustada:
133y + 133z = -133
Simplificando:
y + z = -1 (Equação 4)
Dividindo tudo por (4x - 85y + 125z = 85) - (4x - 3y + z = 3) Rightarrow -85y + 125z + 3y - z = 85 - 3 :
75y + 75z = -75 çã
Para a terceira equação ajustada:
y + z = -1 (Equação 5)
Simplificando:
Dividindo tudo por :
çã

Passo 5

Observamos que tanto a Equação 4 quanto a Equação 5 são iguais: . Isso significa que temos uma equação redundante, então vamos utilizar apenas uma delas para simplificar.

Passo 6

Vamos expressar y = -1 - z em termos de a partir da equação :

Passo 7

Agora, substituímos 4x - 3(-1 - z) + z = 3 4x + 3 + 3z + z = 3 4x + 3 + 4z = 3 4x + 4z = 0 x + z = 0 Rightarrow x = -z na primeira equação original para encontrar :

Passo 8

Temos x = -t y = -1 - t z = t e . Agora, podemos atribuir um valor a para encontrar valores específicos para e .
Vamos escolher , onde é um parâmetro real. Então:
Isso significa que o sistema possui infinitas soluções dependentes de .

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = -t, y = -1 - t, z = t, para qualquer t in R

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