Escalone, resolva e classifique os sistemas lineares: ccc3 x+ & y- 11 z & =-2 x+ & 2 y+ z & =1 2 x+3 y- z & =1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é resolver esse sistema usando o método de escalonamento, que nos ajudará a encontrar os valores de cada variável. Para isso, precisaremos aplicar operações nas equações para simplificá-las e chegar a uma solução.

Passo 2

Começamos escrevendo o sistema de equações da seguinte forma:
3x + y - 11z = -2 x + 2y + z = 1 2x + 3y - z = 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar esse sistema em uma forma escalonada, ou seja, organizar as equações de modo que cada uma tenha uma variável a menos que a anterior. Para isso, vamos utilizar operações elementares nas linhas.

Passo 4

Primeiro, vamos simplificar a primeira equação para facilitar o processo. Podemos dividir toda a primeira equação por 3:
13(3x + y - 11z) = 13(-2) x + 13y - 113z = -23

Passo 5

Agora, teremos o sistema:
x + 13y - 113z = -23 x + 2y + z = 1 2x + 3y - z = 1

Passo 6

Vamos eliminar a variável (x + 2y + z) - (x + 13y - 113z) = 1 - (-23) (x - x) + (2y - 13y) + (z + 113z) = 53 53y + 143z = 53 das equações segunda e terceira. Para isso, subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira.
Para a segunda equação:
(2x + 3y - z) - 2 times (x + 13y - 113z) = 1 - 2 times (-23) 2x - 2x + 3y - 23y - z + 223z = 1 + 43 73y + 193z = 73
Para a terceira equação:

Passo 7

Agora, temos um sistema com duas equações e duas variáveis:
53y + 143z = 53 73y + 193z = 73
Vamos simplificar multiplicando todas as equações por 3 para eliminar os denominadores:
5y + 14z = 5 7y + 19z = 7

Passo 8

Agora, vamos eliminar uma das variáveis. Multiplicaremos a primeira equação por 7 e a segunda por 5 para igualar os coeficientes de 35y + 98z = 35 35y + 95z = 35 :
(35y + 98z) - (35y + 95z) = 35 - 35 0y + 3z = 0 3z = 0 z = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 9

Com 5y + 14(0) = 5 5y = 5 y = 1 , substituímos na primeira equação simplificada:

Passo 10

Agora que temos x + 2(1) + 0 = 1 x + 2 = 1 x = 1 - 2 x = -1 e , substituímos esses valores na primeira equação original para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -1, y = 1, z = 0

Exercícios relacionados