Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se f e g forem contínuas ^a em [a, b] e f(x) >= g(x) então Z1
& Zb & f(x) d x >=a & g(x) d x ;

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas funções contínuas, e , definidas no intervalo . A afirmação diz que se para todo em , então a integral de de a é maior ou igual à integral de no mesmo intervalo.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com as propriedades das integrais de funções contínuas.
O que vamos precisar para resolver:
  • Conhecimento sobre integrais de funções contínuas.
  • Entender que a desigualdade entre as funções se preserva nas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que para todo em . Isso quer dizer que, em cada ponto desse intervalo, o valor de é maior ou igual ao valor de .

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante das integrais: se uma função Se h(x) >= 0 em [a, b], então integrala^b h(x) , dx >= 0 é contínua em e para todo em **, então a integral de de a também será maior ou igual a zero. Ou seja:
ã

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade à nossa situação. Considere a diferença entre as duas funções:
h(x) = f(x) - g(x)
Como para todo em , temos que em .

Passo 5

Aplicando a propriedade das integrais que mencionamos, temos:
integrala^b h(x) , dx >= 0
Substituindo integrala^b [f(x) - g(x)] , dx >= 0 por :

Passo 6

Agora, podemos separar a integral:
integrala^b f(x) , dx - integrala^b g(x) , dx >= 0
Isso implica que:
integrala^b f(x) , dx >= integrala^b g(x) , dx

Resposta

A afirmação é Verdadeira. Se integrala^b f(x) , dx >= integrala^b g(x) , dx e são contínuas em e para todo em , então a integral de de a é maior ou igual à integral de no mesmo intervalo:

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