Escreva se cada afiramação é Verdadeira ou Falsa. Prove se for verdadeira e dê um contra-exemplo se for falsa:
( ) Se
e
forem contínuas
em
e
então
( ) Se
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas funções contínuas,
e
, definidas no intervalo
. A afirmação diz que se
para todo
em
, então a integral de
de
a
é maior ou igual à integral de
no mesmo intervalo.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com as propriedades das integrais de funções contínuas.
O que vamos precisar para resolver:
- Conhecimento sobre integrais de funções contínuas.
- Entender que a desigualdade entre as funções se preserva nas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
para todo
em
. Isso quer dizer que, em cada ponto desse intervalo, o valor de
é maior ou igual ao valor de
.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante das integrais: se uma função
é contínua em
e
para todo
em
**, então a integral de
de
a
também será maior ou igual a zero. Ou seja:
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade à nossa situação. Considere a diferença entre as duas funções:
Como
para todo
em
, temos que
em
.
Passo 5
Aplicando a propriedade das integrais que mencionamos, temos:
Substituindo
por
:
Passo 6
Agora, podemos separar a integral:
Isso implica que:
Resposta
A afirmação é Verdadeira. Se
e
são contínuas em
e
para todo
em
, então a integral de
de
a
é maior ou igual à integral de
no mesmo intervalo: