Uma tubulação transporta 200 kg / s de água. A tubulação se bifurca em uma tubulação de 5 cm de diâmetro e outra de 7 cm de diâmetro. Se a velocidade média na tubulação com menor diâmetro é de 25 m / s, calcular a velocidade na tubulação de maior diâmetro. Resp. V3=39,2 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma tubulação que transporta 200 kg/s de água e ela se divide em duas tubulações: uma com diâmetro de 5 cm e outra com 7 cm. Sabemos que a velocidade na tubulação menor (5 cm) é de 25 m/s. Precisamos descobrir qual é a velocidade na tubulação maior (7 cm). Para resolver isso, vamos usar a equação da continuidade, que relaciona a massa que passa pelas tubulações mantendo o fluxo constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da continuidade para fluxo de massa:
dotm = rho cdot A cdot V
onde:
  • é a taxa de fluxo de massa (kg/s),
  • é a densidade do fluido (kg/m³),
  • é a área da seção transversal da tubulação (m²),
  • é a velocidade do fluido (m/s).
Como a água é praticamente incompressível, a densidade permanece constante nas duas tubulações.

Passo 3

Como a tubulação principal se divide em duas, a soma das massas que passam pelas tubulações menores deve ser igual à massa que passava na tubulação principal. Ou seja:
dotm1 + dotm2 = dotm
Mas como A1 V1 + A2 V2 = Atotal Vtotal é constante, podemos simplificar a equação para áreas e velocidades:
dotm1 + dotm2 = 200 , kg/s
No entanto, como estamos considerando a divisão, podemos dizer que a massa total é a soma das massas nas duas tubulações:

Passo 4

Vamos calcular as áreas das tubulações. A área de um círculo é dada por:
A = pi ( d2 )^2
onde A1 = pi ( 0,052 )^2 = pi ( 0,025 )^2 approx 0,00196 , m² é o diâmetro.
Para a tubulação de 5 cm ( A2 = pi ( 0,072 )^2 = pi ( 0,035 )^2 approx 0,00385 , m² ):
²
Para a tubulação de 7 cm ( ):
²

Passo 5

Sabemos que a velocidade na tubulação menor ( dotm1 + dotm2 = 200 , kg/s ) é 25 m/s. Vamos usar a equação da continuidade para encontrar a velocidade na tubulação maior ( A1 V1 + A2 V2 = 200 ):
1000 (A1 V1 + A2 V2) = 200
Como A1 V1 + A2 V2 = 0,2 , m³/s , e é constante, podemos relacionar:
Mas, para simplificar, podemos dividir tudo por e considerar ³ (densidade da água):
³

Passo 6

Agora, substituímos os valores que já temos na equação:
0,00196 times 25 + 0,00385 times V2 = 0,2
Calculando 0,049 + 0,00385 V2 = 0,2 :

Passo 7

Isolando 0,00385 V2 = 0,2 - 0,049 :
0,00385 V2 = 0,151
V2 = 0,1510,00385 approx 39,2 , m/s

Resposta

A velocidade na tubulação de maior diâmetro é de aproximadamente .

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