0 escoamento de um fluido, em regime permanente, plenamente desenvolvido, ao longo de uma tubulação pode ser modelado pela seguinte equação diferencial.
em que u representa a velocidade axial (m/s), r a coordenada radial com origem na linha de centro do tubo, representa a viscosidade dinâmica do fluido, representa a massa específica do fluido e representa o gradiente de pressão que é constante. Quais são as condições de contorno a serem utilizadas na solução da equação diferencial? Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.
Discretize a equação diferencial usando o método de diferenças finitas. Considere um tubo com raio interno de 25 mm , que o fluido que escoa é água ( e ) e que 0 gradiente de pressão tem valor de . Resolva o problema usando diferentes malhas e compare os resultados numéricos com aqueles obtidos por meio do uso da solução analítica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata do escoamento de um fluido em regime permanente e desenvolvido, especificamente dentro de uma tubulação. A gente vai usar conceitos de mecânica dos fluidos e equações diferenciais para resolver. Precisaremos entender a equação diferencial dada, identificar as condições de contorno necessárias e, depois, encontrar a expressão do perfil de velocidade. Além disso, vamos discretizar a equação usando o método de diferenças finitas para resolver numericamente e comparar com a solução analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial fornecida:
Aqui, é a velocidade axial, é a coordenada radial, é a viscosidade dinâmica, é a densidade do fluido, e é o gradiente de pressão constante.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Isso simplifica a equação para:
Passo 4
Agora, precisamos determinar as condições de contorno para resolver essa equação diferencial. Em problemas de escoamento em tubos, geralmente consideramos:
Condição de não deslizamento na parede do tubo: A velocidade do fluido na parede é zero porque o fluido está em contato com uma superfície sólida.
Onde é o raio do tubo.
Simetria no centro do tubo: No centro do tubo (), a derivada da velocidade em relação a é zero devido à simetria.
Passo 5
Com as condições de contorno estabelecidas, vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, integramos a equação uma vez:
Aplicando a condição de simetria no centro ( quando ):
Então,
Passo 6
Integramos novamente para encontrar :
Aplicando a condição de contorno na parede do tubo ():
Portanto, a expressão para fica:
Passo 7
Esta é a solução analítica para o perfil de velocidade em um escoamento laminar de Poiseuille em um tubo circular. Agora, vamos discretizar a equação diferencial usando o método de diferenças finitas para obter uma solução numérica.
A equação diferencial discretizada em um ponto na malha será:
Passo 8
Vamos montar um sistema de equações lineares a partir das discretizações para diferentes pontos na malha radial. Depois, resolveremos este sistema para encontrar os valores de nos pontos discretizados. Repetiremos o processo para diferentes tamanhos de malha () e compararemos os resultados numéricos com a solução analítica obtida.
Passo 9
Para implementar isso numericamente, você pode usar métodos como Gauss-Seidel ou pacotes de álgebra linear disponíveis em software como Python (com NumPy) ou MATLAB. Ao ajustar o tamanho da malha, observaremos como a aproximação numérica se aproxima da solução analítica conforme a malha se torna mais fina.
Resposta
A expressão para o perfil de velocidade no escoamento é: