0 escoamento de um fluido, em regime permanente, plenamente desenvolvido, ao longo de uma tubulação pode ser modelado pela seguinte equação diferencial.
-1rho d pd z+murho 1r dd r(r d ud r)=0
em que u representa a velocidade axial (m/s), r a coordenada radial com origem na linha de centro do tubo, mu representa a viscosidade dinâmica do fluido, rho representa a massa específica do fluido e dp / dz representa o gradiente de pressão que é constante. Quais são as condições de contorno a serem utilizadas na solução da equação diferencial? Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.
Discretize a equação diferencial usando o método de diferenças finitas. Considere um tubo com raio interno de 25 mm , que o fluido que escoa é água ( mu=1,01 times 10^-3 kgm^-1 s^-1 e rho=998 kgm^-3 ) e que 0 gradiente de pressão tem valor de -12,928 N / m. Resolva o problema usando diferentes malhas e compare os resultados numéricos com aqueles obtidos por meio do uso da solução analítica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata do escoamento de um fluido em regime permanente e desenvolvido, especificamente dentro de uma tubulação. A gente vai usar conceitos de mecânica dos fluidos e equações diferenciais para resolver. Precisaremos entender a equação diferencial dada, identificar as condições de contorno necessárias e, depois, encontrar a expressão do perfil de velocidade. Além disso, vamos discretizar a equação usando o método de diferenças finitas para resolver numericamente e comparar com a solução analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial fornecida:
- 1rho dpdz + murho 1r ddr(r dudr) = 0
Aqui, é a velocidade axial, é a coordenada radial, é a viscosidade dinâmica, é a densidade do fluido, e é o gradiente de pressão constante.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
ddr(r dudr) = rmu dpdz
Isso simplifica a equação para:
d^2 udr^2 + 1r dudr = 1mu dpdz

Passo 4

Agora, precisamos determinar as condições de contorno para resolver essa equação diferencial. Em problemas de escoamento em tubos, geralmente consideramos:
  1. Condição de não deslizamento na parede do tubo: A velocidade do fluido na parede é zero porque o fluido está em contato com uma superfície sólida.
    u(R) = 0
    Onde dudr |r=0 = 0 é o raio do tubo.
  2. Simetria no centro do tubo: No centro do tubo ( ), a derivada da velocidade em relação a é zero devido à simetria.

Passo 5

Com as condições de contorno estabelecidas, vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, integramos a equação uma vez:
dudr = 12mu dpdz r + C1
Aplicando a condição de simetria no centro ( 0 = 12mu dpdz cdot 0 + C1 Rightarrow C1 = 0 quando dudr = 12mu dpdz r ):
Então,

Passo 6

Integramos novamente para encontrar u(r) = 14mu dpdz r^2 + C2 :
0 = 14mu dpdz R^2 + C2 Rightarrow C2 = -14mu dpdz R^2
Aplicando a condição de contorno na parede do tubo ( u(r) = 14mu dpdz (R^2 - r^2) ):
Portanto, a expressão para fica:

Passo 7

Esta é a solução analítica para o perfil de velocidade em um escoamento laminar de Poiseuille em um tubo circular. Agora, vamos discretizar a equação diferencial usando o método de diferenças finitas para obter uma solução numérica.
A equação diferencial discretizada em um ponto ui+1 - 2ui + ui-1De na malha será:

Passo 8

Vamos montar um sistema de equações lineares a partir das discretizações para diferentes pontos na malha radial. Depois, resolveremos este sistema para encontrar os valores de nos pontos discretizados. Repetiremos o processo para diferentes tamanhos de malha ( ) e compararemos os resultados numéricos com a solução analítica obtida.

Passo 9

Para implementar isso numericamente, você pode usar métodos como Gauss-Seidel ou pacotes de álgebra linear disponíveis em software como Python (com NumPy) ou MATLAB. Ao ajustar o tamanho da malha, observaremos como a aproximação numérica se aproxima da solução analítica conforme a malha se torna mais fina.

Resposta

A expressão para o perfil de velocidade u(r) = 14mu dpdz (R^2 - r^2) no escoamento é:

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