0 escoamento de um fluido, em regime permanente, plenamente desenvolvido, ao longo de uma tubulação pode ser modelado pela seguinte equação diferencial.
em que u representa a velocidade axial (m/s), r a coordenada radial com origem na linha de centro do tubo, representa a viscosidade dinâmica do fluido, representa a massa específica do fluido e representa o gradiente de pressão que é constante. Quais são as condições de contorno a serem utilizadas na solução da equação diferencial? Obtenha uma expressão para o perfil de velocidade.
Discretize a equação diferencial usando o método de diferenças finitas. Considere um tubo com raio interno de 25 mm , que o fluido que escoa é água ( e ) e que 0 gradiente de pressão tem valor de . Resolva o problema usando diferentes malhas e compare os resultados numéricos com aqueles obtidos por meio do uso da solução analítica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata do escoamento de um fluido em regime permanente e desenvolvido, especificamente dentro de uma tubulação. A gente vai usar conceitos de mecânica dos fluidos e equações diferenciais para resolver. Precisaremos entender a equação diferencial dada, identificar as condições de contorno necessárias e, depois, encontrar a expressão do perfil de velocidade. Além disso, vamos discretizar a equação usando o método de diferenças finitas para resolver numericamente e comparar com a solução analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial fornecida:
Aqui, é a velocidade axial, é a coordenada radial, é a viscosidade dinâmica, é a densidade do fluido, e é o gradiente de pressão constante.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Isso simplifica a equação para:

Passo 4

Agora, precisamos determinar as condições de contorno para resolver essa equação diferencial. Em problemas de escoamento em tubos, geralmente consideramos:
  1. Condição de não deslizamento na parede do tubo: A velocidade do fluido na parede é zero porque o fluido está em contato com uma superfície sólida.
    Onde é o raio do tubo.
  2. Simetria no centro do tubo: No centro do tubo ( ), a derivada da velocidade em relação a é zero devido à simetria.

Passo 5

Com as condições de contorno estabelecidas, vamos resolver a equação diferencial. Primeiro, integramos a equação uma vez:
Aplicando a condição de simetria no centro ( quando ):
Então,

Passo 6

Integramos novamente para encontrar :
Aplicando a condição de contorno na parede do tubo ( ):
Portanto, a expressão para fica:

Passo 7

Esta é a solução analítica para o perfil de velocidade em um escoamento laminar de Poiseuille em um tubo circular. Agora, vamos discretizar a equação diferencial usando o método de diferenças finitas para obter uma solução numérica.
A equação diferencial discretizada em um ponto na malha será:

Passo 8

Vamos montar um sistema de equações lineares a partir das discretizações para diferentes pontos na malha radial. Depois, resolveremos este sistema para encontrar os valores de nos pontos discretizados. Repetiremos o processo para diferentes tamanhos de malha ( ) e compararemos os resultados numéricos com a solução analítica obtida.

Passo 9

Para implementar isso numericamente, você pode usar métodos como Gauss-Seidel ou pacotes de álgebra linear disponíveis em software como Python (com NumPy) ou MATLAB. Ao ajustar o tamanho da malha, observaremos como a aproximação numérica se aproxima da solução analítica conforme a malha se torna mais fina.

Resposta

A expressão para o perfil de velocidade no escoamento é:

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Resp:
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Óleo (SAE 30 - e ) está em repouso próximo a uma placa horizontal quando ela começa a se mover subitamente a uma velocidade constante ( ) de . A equação diferencial que modela este fenômeno é a seguinte:
em que u representa a velocidade ( ) ao longo da direção , representa o tempo ( s ), y representa a distância vertical a partir da placa, representa a viscosidade dinâmica do fluido e representa a massa específica do fluido. Usando o método de diferenças finitas, avalie a velocidade do óleo em um ponto localizado a 3 cm da placa após 0,5 segundo e 1 segundo da movimentação da placa. Para efeito de análise, considere que o domínio se estende até uma distância de 10 cm da placa. Compare os resultados com a solução analítica dada a seguir
em que
é chamada função erro.