Óleo (SAE 30 - mu=0,29 kgm^-1 s^-1 e rho=891 kgm^-3 ) está em repouso próximo a uma placa horizontal quando ela começa a se mover subitamente a uma velocidade constante ( U0 ) de 1 m / s. A equação diferencial que modela este fenômeno é a seguinte:
partial upartial t=murho partial^2 upartial y^2
em que u representa a velocidade ( m / s ) ao longo da direção x, t representa o tempo ( s ), y representa a distância vertical a partir da placa, mu representa a viscosidade dinâmica do fluido e rho representa a massa específica do fluido. Usando o método de diferenças finitas, avalie a velocidade do óleo em um ponto localizado a 3 cm da placa após 0,5 segundo e 1 segundo da movimentação da placa. Para efeito de análise, considere que o domínio se estende até uma distância de 10 cm da placa. Compare os resultados com a solução analítica dada a seguir
uU0=1-erf(y2 raizmurho t)
em que
erf(beta)=2raizpi integral0^beta e^-x^2 d x
é chamada função erro.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um óleo com determinadas propriedades que está parado perto de uma placa horizontal. Quando a placa começa a se mover a uma velocidade constante, queremos saber como a velocidade do óleo varia a uma certa distância da placa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de diferenças finitas, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Precisaremos conhecer conceitos de difusão e condições iniciais e de contorno para aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos discretizar o domínio espacial. O domínio se estende até 10 cm da placa, então vamos dividir essa distância em pequenos intervalos. Suponha que a distância entre cada ponto (passo espacial) seja Δy = 1 cm, o que nos dá 10 pontos (y₀ = 0 cm, y₁ = 1 cm, …, y₁₀ = 10 cm).

Passo 3

Agora, vamos discretizar o domínio temporal. Queremos avaliar a velocidade após 0,5 e 1 segundo. Vamos escolher um passo de tempo Δt que satisfaça a condição de estabilidade do método de diferenças finitas. Uma escolha comum é usar Δt = 0,01 s, o que nos dá 50 passos para 0,5 s e 100 passos para 1 s.

Passo 4

Implementamos o esquema de diferenças finitas para a equação diferencial dada:
partial upartial t = murho partial^2 upartial y^2
Usando diferenças finitas, a equação fica:
ui^n+1 = ui^n + mu De
Aqui, é a velocidade no ponto e no tempo .

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais e de contorno:
  • Inicialmente (t=0), o óleo está em repouso, então para todos os i.
  • Condição de contorno na placa (y=0): a placa se move a m/s, então para todos os n.
  • Condição de contorno na borda (y=10 cm): consideramos que o óleo está em repouso, então para todos os n.
Repetimos o cálculo do passo 4 para cada ponto e cada passo de tempo até alcançarmos t=0,5 s e t=1 s. Em cada iteração, atualizamos os valores de .

Passo 6

Depois de calcular as velocidades usando o método de diferenças finitas, vamos comparar com a solução analítica fornecida:
uU0 = 1 - erf(y2 raizmurho t)
Para cm, s e s, substituímos esses valores na fórmula para encontrar a velocidade analítica e comparamos com os resultados obtidos pelo método numérico.

Resposta

A velocidade do óleo a 3 cm da placa após 0,5 segundo e 1 segundo, calculada pelo método de diferenças finitas, está de acordo com a solução analítica fornecida pela função erro. Especificamente:
  • Após 0,5 s: m/s
  • Após 1 s: m/s
Esses valores são consistentes com os resultados esperados da solução analítica.

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