Ao soltar a válvula de abastecimento, com 5 mm de diâmetro, de um balão cheio de ar (rho=1,28 kg / m^3) com peso total (balão + ar) de 1 N , o esvaziamento inicia à razão de 5 l / s. Determine o módulo de aceleração instantânea inicial que o balão experimenta, na vertical, de baixo para cima.
Resp: 6,2 m / s^2

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um balão cheio de ar com densidade rho = 1,28 kg/m^3 e peso total de 1 N (incluindo o balão e o ar). Quando soltamos a válvula de abastecimento, que tem um diâmetro de 5 mm, o ar começa a sair a uma taxa de 5 litros por segundo (5 L/s). Precisamos descobrir qual é a aceleração inicial que o balão ganha na vertical, de baixo para cima.
Matéria envolvida: Dinâmica, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração.
O que vamos precisar: Identificar todas as forças atuantes no balão e aplicar a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no balão:
  1. Peso do balão ( Fp): É a força da gravidade puxando o balão para baixo. Já sabemos que Fp = 1 N.
  2. Força de empuxo ( Fempuxo): É a força para cima causada pelo ar que está saindo do balão.

Passo 3

Para calcular a força de empuxo, precisamos saber a taxa de variação da massa do ar que está saindo. A fórmula para a força é:
Fempuxo = dotm cdot v
onde:
  • dotm é a taxa de massa (kg/s),
  • v é a velocidade do ar saindo da válvula (m/s).

Passo 4

Primeiro, vamos calcular dotm, a taxa de massa:
dotm = rho cdot dotV
A vazão volumétrica dotV é 5 L/s, que convertendo para metros cúbicos fica:
dotV = 5 L/s = 0,005 m^3/s
Então:
dotm = 1,28 kg/m^3 times 0,005 m^3/s = 0,0064 kg/s

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade v do ar saindo pela válvula. Primeiro, calculamos a área da válvula ( A) com diâmetro de 5 mm (0,005 m):
A = pi (d2)^2 = pi (0,0052)^2 approx 1,9635 times 10^-5 m^2
A velocidade v é dada por:
v = dotVA = 0,005 m^3/s1,9635 times 10^-5 m^2 approx 254,65 m/s

Passo 6

Agora, calculamos a força de empuxo:
Fempuxo = dotm cdot v = 0,0064 kg/s times 254,65 m/s approx 1,63 N

Passo 7

Aplicando a segunda lei de Newton para encontrar a força resultante ( Fresu):
Fresu
Essa força resultante causa uma aceleração ( a) no balão:
F = m cdot a Rightarrow a = Fm
Primeiro, encontramos a massa ( m) do balão a partir do peso:
Fp = m cdot g Rightarrow m = 1 N9,81 m/s^2 approx 0,102 kg
Então:
a = 0,63 N0,102 kg approx 6,2 m/s^2

Resposta

O módulo de aceleração inicial que o balão experimenta é 6,2 m/s^2.

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