Use os métodos da bisseção e da falsa posição para calcular as raízes (ou a raiz) das seguintes funções transcendentais: f(x)=x+log (x). Faça uma análise da convergência dos métodos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as raízes da função f(x) = x + log(x) usando dois métodos numéricos: bisseção e falsa posição. Além disso, precisamos analisar como esses métodos convergem para a solução. Vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar passo a passo para encontrar a raiz da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = x + log(x). Queremos encontrar o valor de x onde f(x) = 0, ou seja, onde x + log(x) = 0. Isso significa que x = -log(x). Queremos resolver essa equação numericamente porque ela não tem solução algébrica simples.

Passo 3

Vamos começar com o Método da Bisseção. Esse método requer que a gente escolha um intervalo [a, b] onde a função muda de sinal, ou seja, f(a) cdot f(b) < 0. Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo:
  • Para x = 1: f(1) = 1 + log(1) = 1 + 0 = 1
  • Para x = 0,5: f(0,5) = 0,5 + log(0,5) approx 0,5 - 0,6931 approx -0,1931
Como f(0,5) < 0 e f(1) > 0, temos um intervalo [0,5, 1] onde a função muda de sinal. Então, vamos usar esse intervalo para iniciar o método da bisseção.

Passo 4

No Método da Bisseção, a gente calcula o ponto médio c do intervalo [a, b]:
c = a + b2
E então verifica o sinal de f(c). Dependendo do sinal, a gente escolhe o novo intervalo como [a, c] ou [c, b] para a próxima iteração.
Vamos calcular a primeira iteração:
  • a = 0,5, b = 1
  • c = 0,5 + 12 = 0,75
  • f(0,75) = 0,75 + log(0,75) approx 0,75 - 0,2877 approx 0,4623
Como f(c) > 0, a raiz está entre a = 0,5 e c = 0,75. Então, nosso novo intervalo é [0,5, 0,75].

Passo 5

Vamos fazer mais uma iteração do Método da Bisseção:
  • a = 0,5, b = 0,75
  • c = 0,5 + 0,752 = 0,625
  • f(0,625) = 0,625 + log(0,625) approx 0,625 - 0,4700 approx 0,1550
Como f(c) > 0, a raiz está entre a = 0,5 e c = 0,625. Novo intervalo: [0,5, 0,625].

Passo 6

Mais uma iteração do Método da Bisseção:
  • a = 0,5, b = 0,625
  • c = 0,5 + 0,6252 = 0,5625
  • f(0,5625) = 0,5625 + log(0,5625) approx 0,5625 - 0,5756 approx -0,0131
Agora, f(c) < 0, então a raiz está entre c = 0,5625 e b = 0,625. Novo intervalo: [0,5625, 0,625].

Passo 7

Outra iteração do Método da Bisseção:
  • a = 0,5625, b = 0,625
  • c = 0,5625 + 0,6252 = 0,59375
  • f(0,59375) = 0,59375 + log(0,59375) approx 0,59375 - 0,5211 approx 0,0726
Como f(c) > 0, a raiz está entre a = 0,5625 e c = 0,59375. Novo intervalo: [0,5625, 0,59375].

Passo 8

Vamos realizar mais uma iteração para melhorar a precisão:
  • a = 0,5625, b = 0,59375
  • c = 0,5625 + 0,593752 = 0,578125
  • f(0,578125) = 0,578125 + log(0,578125) approx 0,578125 - 0,5485 approx 0,0296
Como f(c) > 0, a raiz está entre a = 0,5625 e c = 0,578125. Novo intervalo: [0,5625, 0,578125].

Passo 9

Mais uma iteração para refinar a raiz:
  • a = 0,5625, b = 0,578125
  • c = 0,5625 + 0,5781252 = 0,5703125
  • f(0,5703125) = 0,5703125 + log(0,5703125) approx 0,5703125 - 0,5616 approx 0,0087
Como f(c) > 0, a raiz está entre a = 0,5625 e c = 0,5703125. Novo intervalo: [0,5625, 0,5703125].

Passo 10

Vamos fazer mais uma iteração do Método da Bisseção:
  • a = 0,5625, b = 0,5703125
  • c = 0,5625 + 0,57031252 = 0,56640625
  • f(0,56640625) = 0,56640625 + log(0,56640625) approx 0,56640625 - 0,5690 approx -0,0027
Como f(c) < 0, a raiz está entre c = 0,56640625 e b = 0,5703125. Novo intervalo: [0,56640625, 0,5703125].

Passo 11

Mais uma iteração para aproximar ainda mais a raiz:
  • a = 0,56640625, b = 0,5703125
  • c = 0,56640625 + 0,57031252 = 0,568359375
  • f(0,568359375) = 0,568359375 + log(0,568359375) approx 0,568359375 - 0,5683 approx 0,00006
Como f(c) approx 0, conseguimos uma aproximação bem próxima da raiz.

Passo 12

Agora, vamos resumir o que encontramos com o Método da Bisseção: a raiz de f(x) = x + log(x) está aproximadamente em x approx 0,5684.

Passo 13

Agora, vamos usar o Método da Falsa Posição. Esse método também requer um intervalo [a, b] onde f(a) cdot f(b) < 0. Já temos esse intervalo inicial [0,5, 1].
A diferença é que, em vez de pegar o ponto médio, usamos a fórmula da linha que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)) para encontrar a próxima aproximação da raiz:
c = b - f(b)(b - a)f(b) - f(a)

Passo 14

Vamos realizar a primeira iteração do Método da Falsa Posição:
  • a = 0,5, f(a) = -0,1931
  • b = 1, f(b) = 1
  • Calculando c:
c = 1 - 1 cdot (1 - 0,5)1 - (-0,1931) = 1 - 0,51,1931 approx 1 - 0,419 approx 0,581
  • f(c) = 0,581 + log(0,581) approx 0,581 - 0,544 approx 0,037
Como f(c) > 0, a raiz está entre a = 0,5 e c = 0,581. Novo intervalo: [0,5, 0,581].

Passo 15

Segunda iteração do Método da Falsa Posição:
  • a = 0,5, f(a) = -0,1931
  • b = 0,581, f(b) = 0,037
  • Calculando c:
c = 0,581 - 0,037 cdot (0,581 - 0,5)0,037 - (-0,1931) approx 0,581 - 0,037 cdot 0,0810,2301 approx 0,581 - 0,013 approx 0,568
  • f(c) = 0,568 + log(0,568) approx 0,568 - 0,5683 approx -0,0003
Como f(c) approx 0, já temos uma aproximação muito próxima da raiz.

Passo 16

Resumindo o Método da Falsa Posição: a raiz de f(x) = x + log(x) está aproximadamente em x approx 0,568.

Passo 17

Agora, vamos analisar a convergência dos métodos.
  • Método da Bisseção: É garantido que converge para a raiz se o intervalo inicial contém uma mudança de sinal. A taxa de convergência é linear, ou seja, reduz o erro pela metade a cada iteração. É muito confiável, mas pode ser lento.
  • Método da Falsa Posição: Também garante a convergência se houver mudança de sinal no intervalo inicial. Geralmente converge mais rápido que a bisseção porque usa uma aproximação melhor da raiz, porém, em alguns casos, pode ser quase tão lento quanto a bisseção se a função for quase linear.
No nosso caso, ambos os métodos convergiram para x approx 0,568, mas o método da falsa posição precisou de menos iterações para chegar a uma aproximação semelhante.

Resposta

A raiz da função f(x) = x + log(x) é aproximadamente x approx 0,568. Usamos os métodos da bisseção e da falsa posição, que ambos convergiram para esse valor, com o método da falsa posição apresentando uma convergência mais rápida neste caso.

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