Use os métodos da bisseção e da falsa posição para calcular as raízes (ou a raiz) das seguintes funções transcendentais:
. Faça uma análise da convergência dos métodos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as raízes da função
usando dois métodos numéricos: bisseção e falsa posição. Além disso, precisamos analisar como esses métodos convergem para a solução. Vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar passo a passo para encontrar a raiz da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Queremos encontrar o valor de
onde
, ou seja, onde
. Isso significa que
. Queremos resolver essa equação numericamente porque ela não tem solução algébrica simples.
Passo 3
Vamos começar com o Método da Bisseção. Esse método requer que a gente escolha um intervalo
onde a função muda de sinal, ou seja,
. Isso garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Vamos testar alguns valores para encontrar esse intervalo:
- Para
: - Para
:
Como
e
, temos um intervalo
onde a função muda de sinal. Então, vamos usar esse intervalo para iniciar o método da bisseção.
Passo 4
No Método da Bisseção, a gente calcula o ponto médio
do intervalo
:
E então verifica o sinal de
. Dependendo do sinal, a gente escolhe o novo intervalo como
ou
para a próxima iteração.
Vamos calcular a primeira iteração:
-
, -
-
Como
, a raiz está entre
e
. Então, nosso novo intervalo é
.
Passo 5
Vamos fazer mais uma iteração do Método da Bisseção:
-
, -
-
Como
, a raiz está entre
e
. Novo intervalo:
.
Passo 6
Mais uma iteração do Método da Bisseção:
-
, -
-
Agora,
, então a raiz está entre
e
. Novo intervalo:
.
Passo 7
Outra iteração do Método da Bisseção:
-
, -
-
Como
, a raiz está entre
e
. Novo intervalo:
.
Passo 8
Vamos realizar mais uma iteração para melhorar a precisão:
-
, -
-
Como
, a raiz está entre
e
. Novo intervalo:
.
Passo 9
Mais uma iteração para refinar a raiz:
-
, -
-
Como
, a raiz está entre
e
. Novo intervalo:
.
Passo 10
Vamos fazer mais uma iteração do Método da Bisseção:
-
, -
-
Como
, a raiz está entre
e
. Novo intervalo:
.
Passo 11
Mais uma iteração para aproximar ainda mais a raiz:
-
, -
-
Como
, conseguimos uma aproximação bem próxima da raiz.
Passo 12
Agora, vamos resumir o que encontramos com o Método da Bisseção: a raiz de
está aproximadamente em
.
Passo 13
Agora, vamos usar o Método da Falsa Posição. Esse método também requer um intervalo
onde
. Já temos esse intervalo inicial
.
A diferença é que, em vez de pegar o ponto médio, usamos a fórmula da linha que passa por
e
para encontrar a próxima aproximação da raiz:
Passo 14
Vamos realizar a primeira iteração do Método da Falsa Posição:
-
, -
, - Calculando
:
Como
, a raiz está entre
e
. Novo intervalo:
.
Passo 15
Segunda iteração do Método da Falsa Posição:
-
, -
, - Calculando
:
Como
, já temos uma aproximação muito próxima da raiz.
Passo 16
Resumindo o Método da Falsa Posição: a raiz de
está aproximadamente em
.
Passo 17
Agora, vamos analisar a convergência dos métodos.
-
Método da Bisseção: É garantido que converge para a raiz se o intervalo inicial contém uma mudança de sinal. A taxa de convergência é linear, ou seja, reduz o erro pela metade a cada iteração. É muito confiável, mas pode ser lento.
-
Método da Falsa Posição: Também garante a convergência se houver mudança de sinal no intervalo inicial. Geralmente converge mais rápido que a bisseção porque usa uma aproximação melhor da raiz, porém, em alguns casos, pode ser quase tão lento quanto a bisseção se a função for quase linear.
No nosso caso, ambos os métodos convergiram para
, mas o método da falsa posição precisou de menos iterações para chegar a uma aproximação semelhante.
Resposta
A raiz da função
é aproximadamente
. Usamos os métodos da bisseção e da falsa posição, que ambos convergiram para esse valor, com o método da falsa posição apresentando uma convergência mais rápida neste caso.