Para um escoamento irrotacional, mostre que a equação de Bernoulli vale entre quaisquer dois pontos do escoamento, não somente ao longo de uma linha de corrente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, em um escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli vale entre qualquer dois pontos do fluxo, não apenas ao longo de uma linha de corrente. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente sobre escoamentos irrotacionais e a própria equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um escoamento irrotacional. Isso significa que a vorticidade do fluxo é zero em qualquer ponto, ou seja, não há rotação das partículas do fluido. Matematicamente, isso é expresso como:
onde
é o campo de velocidade do fluido.
Passo 3
Agora, a equação de Bernoulli relaciona pressão, velocidade e altura em um fluxo. Ao longo de uma linha de corrente, é dada por:
onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido, -
é a velocidade, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Passo 4
Em um escoamento irrotacional, como a vorticidade é zero, podemos estender a validade da equação de Bernoulli para qualquer linha passante pelos pontos considerados. Isso porque em escoamentos irrotacionais, as propriedades do fluxo são conservativas, permitindo que a equação seja aplicada entre quaisquer dois pontos, não apenas seguindo as linhas de corrente.
Passo 5
Para demonstrar isso, consideramos duas trajetórias diferentes que conectam os dois pontos no escoamento irrotacional. Como o fluxo é conservativo (devido à ausência de vorticidade), a integral da força ao longo de qualquer caminho entre os dois pontos será a mesma. Assim, a diferença na energia entre os pontos depende apenas dos valores de
,
e
nos pontos iniciais e finais, confirmando que a equação de Bernoulli é válida entre quaisquer dois pontos.
Resposta
Portanto, em um escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli se aplica entre quaisquer dois pontos do fluxo, não se limitando apenas às linhas de corrente.
Exercícios relacionados
Admitindo que o escoamento seja invíscido e sabendo que a distribuição de
deste perfil, sob tais condições do escoamento não-perturbado é tal que:
. Determine: O coeficiente de sustentação,
.
Determine: O ângulo de ataque de sustentação nula,
.
Mostre que o arqueamento máximo de um perfil NACA de 4 dígitos é dado por:
onde
é a corda do aerofólio. Mostre, ainda, que o ponto de arqueamento máximo
está posicionado a uma distância
do bordo de ataque.
Admitindo que o ar se comporta como gás perfeito, pergunta-se: Qual critério deve ser considerado para que haja similaridade dinâmica entre os escoamentos sobre o modelo e o protótipo?