Para um escoamento irrotacional, mostre que a equação de Bernoulli vale entre quaisquer dois pontos do escoamento, não somente ao longo de uma linha de corrente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, em um escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli vale entre qualquer dois pontos do fluxo, não apenas ao longo de uma linha de corrente. Vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especialmente sobre escoamentos irrotacionais e a própria equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um escoamento irrotacional. Isso significa que a vorticidade do fluxo é zero em qualquer ponto, ou seja, não há rotação das partículas do fluido. Matematicamente, isso é expresso como:
onde é o campo de velocidade do fluido.

Passo 3

Agora, a equação de Bernoulli relaciona pressão, velocidade e altura em um fluxo. Ao longo de uma linha de corrente, é dada por:
onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade do fluido,
  • é a velocidade,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.

Passo 4

Em um escoamento irrotacional, como a vorticidade é zero, podemos estender a validade da equação de Bernoulli para qualquer linha passante pelos pontos considerados. Isso porque em escoamentos irrotacionais, as propriedades do fluxo são conservativas, permitindo que a equação seja aplicada entre quaisquer dois pontos, não apenas seguindo as linhas de corrente.

Passo 5

Para demonstrar isso, consideramos duas trajetórias diferentes que conectam os dois pontos no escoamento irrotacional. Como o fluxo é conservativo (devido à ausência de vorticidade), a integral da força ao longo de qualquer caminho entre os dois pontos será a mesma. Assim, a diferença na energia entre os pontos depende apenas dos valores de , e nos pontos iniciais e finais, confirmando que a equação de Bernoulli é válida entre quaisquer dois pontos.

Resposta

Portanto, em um escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli se aplica entre quaisquer dois pontos do fluxo, não se limitando apenas às linhas de corrente.

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á
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