O escoamento em tubos deve ser estudado usando modelo em escala. O tubo real é de 150mm e o modelo trabalha com tubo de 50 mm . O modelo tem o mesmo material do protótipo e é submetido ao experimento em um fluido com densidade 3 vezes maior que a do protótipo, porém com mesma viscosidade mu. Se a velocidade do protótipo for estimada em 2,0 m / s, determine a velocidade do escoamento para o modelo.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre escoamento em tubos e como estudá-lo usando um modelo em escala. Temos um tubo real de 150 mm e um modelo menor de 50 mm. Além disso, o fluido no modelo tem uma densidade três vezes maior que o do protótipo, mas a viscosidade mu é a mesma. Queremos descobrir qual deve ser a velocidade do escoamento no modelo sabendo que no protótipo ela é de 2,0 m/s.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre simetria dinâmica e o número de Reynolds, que nos ajuda a comparar diferentes escoamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o número de Reynolds (Re). Ele é uma grandeza adimensional usada em mecânica dos fluidos para prever o regime de escoamento, se é laminar ou turbulento. A fórmula do número de Reynolds é:
Re = rho V Lmu
Onde:
  • rho é a densidade do fluido,
  • V é a velocidade do escoamento,
  • L é uma dimensão característica do tubo (como o diâmetro),
  • mu é a viscosidade dinâmica do fluido.

Passo 3

Para que o modelo em escala seja uma boa representação do protótipo real, os números de Reynolds devem ser iguais nos dois casos. Isso garante que os comportamentos de escoamento sejam similares. Então, temos:
Rereal = Remodelo
Substituindo a fórmula do Reynolds:
rhoreal Vreal Lrealmu = rhomodelo Vmodelo Lmodelomu

Passo 4

Observamos que a viscosidade mu é a mesma nos dois casos, então ela cancela na equação:
rhoreal Vreal Lreal = rhomodelo Vmodelo Lmodelo
Queremos encontrar Vmodelo, então vamos isolar essa variável:
Vmodelo = rhoreal Vreal Lrealrhomodelo Lmodelo

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • rhomodelo = 3 rhoreal
  • Lreal = 150 mm
  • Lmodelo = 50 mm
  • Vreal = 2,0 m/s
Substituindo na equação:
Vmodelo = rhoreal times 2,0 m/s times 150 mm3 rhoreal times 50 mm

Passo 6

Observamos que rhoreal aparece no numerador e no denominador, então também cancela:
Vmodelo = 2,0 m/s times 1503 times 50
Vmodelo = 300150 = 2,0 m/s

Resposta

A velocidade do escoamento no modelo é 2,0 m/s.

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