Em uma escola de ensino fundamental e médio, suponha que
dos alunos do fundamental e
dos aluno do ensino médio terminam o ano letivo com nota final acima de 7 no curso de matemática. Suponha também que
dos alunos dessa escola estejam no ensino fundamental e
no ensino médio.
© Em média, quantos estudantes com nota final acima de 7 em matemática esperamos encontrar dentre as 20 sorteadas? E qual é o desvio padrão do número de estudantes com nota final acima de 7 em matemática?
© Em média, quantos estudantes com nota final acima de 7 em matemática esperamos encontrar dentre as 20 sorteadas? E qual é o desvio padrão do número de estudantes com nota final acima de 7 em matemática?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma escola com alunos do ensino fundamental e médio. Sabemos que:
- 87% dos alunos do fundamental tiram nota final acima de 7 em matemática.
- 75% dos alunos do ensino médio tiram nota final acima de 7 em matemática.
- 65% dos alunos estão no ensino fundamental.
- 35% dos alunos estão no ensino médio.
Queremos descobrir, em média, quantos estudantes com nota acima de 7 em matemática esperamos encontrar entre 20 sorteados, além do desvio padrão desse número. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especialmente a Distribuição Binomial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade média de um aluno qualquer tirar nota acima de 7 em matemática na escola. Como temos dois grupos com diferentes porcentagens, vamos calcular uma média ponderada.
A fórmula para a probabilidade média
é:
Onde:
Vamos calcular:
Então, a probabilidade média de um aluno tirar nota acima de 7 é 82.8%.
Passo 3
Agora, queremos saber quantos desses alunos com nota acima de 7 podemos esperar em um grupo de 20 sorteados. Para isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em uma quantidade fixa de tentativas, com probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.
A fórmula da expectativa (média)
em uma distribuição binomial é:
Onde:
-
(número de alunos sorteados) -
(probabilidade de um aluno tirar nota acima de 7)
Calculando:
Então, em média, esperamos que 16.56 alunos tenham nota acima de 7 em matemática.
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão
dessa distribuição binomial. O desvio padrão nos dá uma ideia de quão dispersos os valores podem estar em relação à média.
A fórmula para o desvio padrão em uma distribuição binomial é:
Substituindo os valores:
Então, o desvio padrão é aproximadamente 1.69.
Resposta
Em média, esperamos encontrar 16.56 estudantes com nota final acima de 7 em matemática dentre os 20 sorteados. O desvio padrão desse número é aproximadamente 1.69.
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(a) Qual é a proporção de alunos com nota final acima de 7 no curso de matemática?
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