Em uma escola de ensino fundamental e médio, suponha que 87 % dos alunos do fundamental e 75 % dos aluno do ensino médio terminam o ano letivo com nota final acima de 7 no curso de matemática. Suponha também que 65 % dos alunos dessa escola estejam no ensino fundamental e 35 % no ensino médio.
© Em média, quantos estudantes com nota final acima de 7 em matemática esperamos encontrar dentre as 20 sorteadas? E qual é o desvio padrão do número de estudantes com nota final acima de 7 em matemática?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma escola com alunos do ensino fundamental e médio. Sabemos que:
  • 87% dos alunos do fundamental tiram nota final acima de 7 em matemática.
  • 75% dos alunos do ensino médio tiram nota final acima de 7 em matemática.
  • 65% dos alunos estão no ensino fundamental.
  • 35% dos alunos estão no ensino médio.
Queremos descobrir, em média, quantos estudantes com nota acima de 7 em matemática esperamos encontrar entre 20 sorteados, além do desvio padrão desse número. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especialmente a Distribuição Binomial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade média de um aluno qualquer tirar nota acima de 7 em matemática na escola. Como temos dois grupos com diferentes porcentagens, vamos calcular uma média ponderada.
A fórmula para a probabilidade média P = (Pfundamental times %fundamental) + (Pmédio times %médio) é:
P = (0.87 times 0.65) + (0.75 times 0.35) = 0.5655 + 0.2625 = 0.828 éé
Onde:
  • é
  • é
Vamos calcular:
Então, a probabilidade média de um aluno tirar nota acima de 7 é 82.8%.

Passo 3

Agora, queremos saber quantos desses alunos com nota acima de 7 podemos esperar em um grupo de 20 sorteados. Para isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em uma quantidade fixa de tentativas, com probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.
A fórmula da expectativa (média) mu = n times P em uma distribuição binomial é:
mu = 20 times 0.828 = 16.56
Onde:
  • (número de alunos sorteados)
  • (probabilidade de um aluno tirar nota acima de 7)
Calculando:
Então, em média, esperamos que 16.56 alunos tenham nota acima de 7 em matemática.

Passo 4

Agora, vamos calcular o desvio padrão sigma = raizn times P times (1 - P) dessa distribuição binomial. O desvio padrão nos dá uma ideia de quão dispersos os valores podem estar em relação à média.
A fórmula para o desvio padrão em uma distribuição binomial é:
sigma = raiz20 times 0.828 times (1 - 0.828) = raiz20 times 0.828 times 0.172 = raiz2.8512 approx 1.69
Substituindo os valores:
Então, o desvio padrão é aproximadamente 1.69.

Resposta

Em média, esperamos encontrar 16.56 estudantes com nota final acima de 7 em matemática dentre os 20 sorteados. O desvio padrão desse número é aproximadamente 1.69.

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