Uma vinícola produz garrafas de vinho tinto, rosé, branco e espumantes. Cada garrafa de vinho tinto gera um lucro para vínicola de
, de vinho rosé
e de vinho branco R
e cada espumante R
. Suponha que cada garrafa de vinho tinto tenha 3 vezes mais chance de ser vendida que uma garrafa de vinho rosé, que a chance de um cliente comprar um rosé ou um branco sejam a mesma, mas que a probabilidade de comprar um espumante seja a metade de comprar um vinho branco.
(b) Encontre o lucro médio e o desvio padrão de
.
(b) Encontre o lucro médio e o desvio padrão de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma vinícola que vende quatro tipos de vinho: tinto, rosé, branco e espumante, cada um com um lucro diferente. A questão (b) pede pra gente encontrar o lucro médio e o desvio padrão dessa venda. Para isso, vamos trabalhar com probabilidades e alguns conceitos de estatística, como valor esperado e variância.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar as probabilidades de cada tipo de vinho ser vendido. Segundo o enunciado:
- Cada garrafa de tinto tem 3 vezes mais chance de ser vendida que uma de rosé.
- A chance de vender rosé é a mesma de vender branco.
- A probabilidade de vender um espumante é metade da de vender um branco.
Vamos chamar a probabilidade de vender um rosé de
. Assim:
- Probabilidade de tinto:
- Probabilidade de rosé:
- Probabilidade de branco:
- Probabilidade de espumante:
Como todas as probabilidades devem somar 1, temos:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Passo 4
Com o valor de
, podemos calcular as probabilidades de cada tipo de vinho:
- Tinto:
- Rosé:
- Branco:
- Espumante:
Passo 5
Agora, vamos definir a variável aleatória
como o lucro obtido por venda de uma garrafa. Os valores e suas probabilidades são:
-
(tinto) com -
(rosé) com -
(branco) com -
(espumante) com
Passo 6
Vamos calcular o lucro médio (valor esperado) usando a fórmula:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Passo 7
Para encontrar o desvio padrão, primeiro calculamos a variância
:
Primeiro, calculamos
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, calculamos a variância:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
O lucro médio é de aproximadamente R$ 9,73 e o desvio padrão é de aproximadamente R$ 1,47.
Exercícios relacionados
Discuta a validade do modelo binomial para as variáveis aleatórias mencionadas abaixo:
(d) uma prova de aptidão de um time de basquete consiste em fazer cestas de 3 pontos. O atleta faz 20 arremessos livres da linha de 3 pontos e conta-se o número de cestas do atleta.
(d) uma prova de aptidão de um time de basquete consiste em fazer cestas de 3 pontos. O atleta faz 20 arremessos livres da linha de 3 pontos e conta-se o número de cestas do atleta.
Discuta a validade do modelo binomial para as variáveis aleatórias mencionadas abaixo:
(b) um teste de controle de qualidade é feito em 30 capacetes das duas marcas de capacetes mais utilizadas no país, 15 da marca líder e 15 da segunda marca mais comprada. Contamos o número total de capacetes que passam no teste.
(b) um teste de controle de qualidade é feito em 30 capacetes das duas marcas de capacetes mais utilizadas no país, 15 da marca líder e 15 da segunda marca mais comprada. Contamos o número total de capacetes que passam no teste.
Em uma escola de ensino fundamental e médio, suponha que
dos alunos do fundamental e
dos aluno do ensino médio terminam o ano letivo com nota final acima de 7 no curso de matemática. Suponha também que
dos alunos dessa escola estejam no ensino fundamental e
no ensino médio.
(a) Qual é a proporção de alunos com nota final acima de 7 no curso de matemática?
(a) Qual é a proporção de alunos com nota final acima de 7 no curso de matemática?
Em uma escola de ensino fundamental e médio, suponha que
dos alunos do fundamental e
dos aluno do ensino médio terminam o ano letivo com nota final acima de 7 no curso de matemática. Suponha também que
dos alunos dessa escola estejam no ensino fundamental e
no ensino médio.
© Em média, quantos estudantes com nota final acima de 7 em matemática esperamos encontrar dentre as 20 sorteadas? E qual é o desvio padrão do número de estudantes com nota final acima de 7 em matemática?
© Em média, quantos estudantes com nota final acima de 7 em matemática esperamos encontrar dentre as 20 sorteadas? E qual é o desvio padrão do número de estudantes com nota final acima de 7 em matemática?