Uma vinícola produz garrafas de vinho tinto, rosé, branco e espumantes. Cada garrafa de vinho tinto gera um lucro para vínicola de , de vinho rosé e de vinho branco R e cada espumante R . Suponha que cada garrafa de vinho tinto tenha 3 vezes mais chance de ser vendida que uma garrafa de vinho rosé, que a chance de um cliente comprar um rosé ou um branco sejam a mesma, mas que a probabilidade de comprar um espumante seja a metade de comprar um vinho branco.
(b) Encontre o lucro médio e o desvio padrão de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma vinícola que vende quatro tipos de vinho: tinto, rosé, branco e espumante, cada um com um lucro diferente. A questão (b) pede pra gente encontrar o lucro médio e o desvio padrão dessa venda. Para isso, vamos trabalhar com probabilidades e alguns conceitos de estatística, como valor esperado e variância.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar as probabilidades de cada tipo de vinho ser vendido. Segundo o enunciado:
  • Cada garrafa de tinto tem 3 vezes mais chance de ser vendida que uma de rosé.
  • A chance de vender rosé é a mesma de vender branco.
  • A probabilidade de vender um espumante é metade da de vender um branco.
Vamos chamar a probabilidade de vender um rosé de . Assim:
  • Probabilidade de tinto:
  • Probabilidade de rosé:
  • Probabilidade de branco:
  • Probabilidade de espumante:
Como todas as probabilidades devem somar 1, temos:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :

Passo 4

Com o valor de , podemos calcular as probabilidades de cada tipo de vinho:
  • Tinto:
  • Rosé:
  • Branco:
  • Espumante:

Passo 5

Agora, vamos definir a variável aleatória como o lucro obtido por venda de uma garrafa. Os valores e suas probabilidades são:
  • (tinto) com
  • (rosé) com
  • (branco) com
  • (espumante) com

Passo 6

Vamos calcular o lucro médio (valor esperado) usando a fórmula:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Passo 7

Para encontrar o desvio padrão, primeiro calculamos a variância :
Primeiro, calculamos :
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, calculamos a variância:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

O lucro médio é de aproximadamente R$ 9,73 e o desvio padrão é de aproximadamente R$ 1,47.

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