Uma vinícola produz garrafas de vinho tinto, rosé, branco e espumantes. Cada garrafa de vinho tinto gera um lucro para vínicola de R , de vinho rosé , de vinho rosé e de vinho branco R 12,00 e cada espumante R . Suponha que cada garrafa de vinho tinto tenha 3 vezes mais chance de ser vendida que uma garrafa de vinho rosé, que a chance de um cliente comprar um rosé ou um branco sejam a mesma, mas que a probabilidade de comprar um espumante seja a metade de comprar um vinho branco.
(b) Encontre o lucro médio e o desvio padrão de e cada espumante R .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente tem uma vinícola que vende quatro tipos de vinho: tinto, rosé, branco e espumante, cada um com um lucro diferente. A questão (b) pede pra gente encontrar o lucro médio e o desvio padrão dessa venda. Para isso, vamos trabalhar com probabilidades e alguns conceitos de estatística, como valor esperado e variância.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar as probabilidades de cada tipo de vinho ser vendido. Segundo o enunciado:
  • Cada garrafa de tinto tem 3 vezes mais chance de ser vendida que uma de rosé.
  • A chance de vender rosé é a mesma de vender branco.
  • A probabilidade de vender um espumante é metade da de vender um branco.
Vamos chamar a probabilidade de vender um rosé de 3p + p + p + p2 = 1 . Assim:
  • Probabilidade de tinto:
  • Probabilidade de rosé:
  • Probabilidade de branco:
  • Probabilidade de espumante:
Como todas as probabilidades devem somar 1, temos:

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 3p + p + p + p2 = 6p + 2p + 2p + p2 = 11p2 = 1 implies 11p = 2 implies p = 211 :

Passo 4

Com o valor de , podemos calcular as probabilidades de cada tipo de vinho:
  • Tinto:
  • Rosé:
  • Branco:
  • Espumante:

Passo 5

Agora, vamos definir a variável aleatória como o lucro obtido por venda de uma garrafa. Os valores e suas probabilidades são:
  • (tinto) com
  • (rosé) com
  • (branco) com
  • (espumante) com

Passo 6

Vamos calcular o lucro médio (valor esperado) usando a fórmula:
E[X] = sum x cdot P(x) = 10 times 611 + 12 times 211 + 8 times 211 + 7 times 111
Calculando cada termo:
10 times 611 = 6011, 12 times 211 = 2411, 8 times 211 = 1611, 7 times 111 = 711
Somando tudo:
E[X] = 60 + 24 + 16 + 711 = 10711 approx 9,73 R$

Passo 7

Para encontrar o desvio padrão, primeiro calculamos a variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 :
E[X^2] = 10^2 times 611 + 12^2 times 211 + 8^2 times 211 + 7^2 times 111 = 100 times 611 + 144 times 211 + 64 times 211 + 49 times 111
Primeiro, calculamos 100 times 611 = 60011, 144 times 211 = 28811, 64 times 211 = 12811, 49 times 111 = 4911 :
E[X^2] = 600 + 288 + 128 + 4911 = 106511 approx 96,82 R$^2
Calculando cada termo:
Var(X) = 96,82 - (9,73)^2 approx 96,82 - 94,65 = 2,17 R$^2
Somando tudo:
sigmaX = raiz2,17 approx 1,47 R$
Agora, calculamos a variância:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

O lucro médio é de aproximadamente R$ 9,73 e o desvio padrão é de aproximadamente R$ 1,47.

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