Utilize o colab e desenvolva um código em python para determinar os valores de a0, a1 e a2 em que os dados de entrada são os pontos (x1, y1) ;(x2, y2) ; ldots ;(xn, yn)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos criar um código em Python, usando o Google Colab, para encontrar os valores de , e que melhor se ajustam a um conjunto de pontos dados . Esse problema pertence ao tema de regressão polinomial de segundo grau e utilizaremos o método dos mínimos quadrados para resolver.

Passo 2

Vamos começar pelo conceito de regressão polinomial. Queremos encontrar um polinômio da forma:
y = a0 + a1x + a2x^2
que melhor se ajusta aos pontos dados. O método dos mínimos quadrados nos ajuda a encontrar os coeficientes , e minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores estimados pelo polinômio.

Passo 3

Para aplicar os mínimos quadrados, precisamos montar um sistema de equações baseado nos nossos pontos de dados. Para cada ponto yi = a0 + a1xi + a2xi^2 , teremos:
S = sumi=1^n (yi - a0 - a1xi - a2xi^2)^2
Queremos minimizar a soma:
Isso resulta em um sistema linear que podemos resolver para encontrar , e .

Passo 4

Vamos agora implementar isso em Python usando o Google Colab. Precisaremos utilizar a biblioteca NumPy para facilitar os cálculos matriciais.
Primeiro, importamos as bibliotecas necessárias e definimos nossos dados:
import numpy as np

# Exemplo de dados
x = np.array([x1, x2, ..., xn])
y = np.array([y1, y2, ..., yn])
Substitua x1, x2, ..., xn e y1, y2, ..., yn pelos seus dados reais.

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz de design X = 1 & x1 & x1^2 1 & x2 & x2^2 vdots & vdots & vdots 1 & xn & xn^2 , Y = y1 y2 vdots yn e o vetor :
Em Python:
# Montando a matriz X
X = np.vstack([np.ones(len(x)), x, x**2]).T

# Vetor Y
Y = y.reshape(-1, 1)

Passo 6

Para encontrar os coeficientes a = (X^TX)^-1X^TY , usamos a fórmula dos mínimos quadrados:
Em Python, isso pode ser feito da seguinte maneira:
# Calculando os coeficientes
XtX = np.dot(X.T, X)
XtY = np.dot(X.T, Y)
a = np.linalg.solve(XtX, XtY)

Passo 7

Finalmente, vamos exibir os valores de , e :
a0, a1, a2 = a.flatten()
print(f"a0 = {a0}")
print(f"a1 = {a1}")
print(f"a2 = {a2}")

Resposta

O código completo em Python para determinar os valores de , e é o seguinte:
import numpy as np

# Defina seus dados aqui
x = np.array([x1, x2, ..., xn])
y = np.array([y1, y2, ..., yn])

# Montando a matriz X
X = np.vstack([np.ones(len(x)), x, x**2]).T

# Vetor Y
Y = y.reshape(-1, 1)

# Calculando os coeficientes
XtX = np.dot(X.T, X)
XtY = np.dot(X.T, Y)
a = np.linalg.solve(XtX, XtY)

# Extraindo os coeficientes
a0, a1, a2 = a.flatten()
print(f"a0 = {a0}")
print(f"a1 = {a1}")
print(f"a2 = {a2}")
Substitua x1, x2, ..., xn e y1, y2, ..., yn pelos seus valores reais para obter os coeficientes desejados.

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