Uma escola de preparação para concursos públicos contratou uma empresa de marketing digital para divulgar seus cursos. Um dos cursos oferecidos tinha capacidade para atender 15.000 alunos. No primeiro dia de matrícula desse curso, 160 alunos se inscreveram, no segundo dia, 240; no terceiro dia, 300, e, assim sucessivamente, sempre aumentando de 60 alunos inscritos a cada dia. Qual é o número mínimo de dias para atingir 15.000 alunos inscritos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente precisa aqui. A escola quer alcançar 15.000 alunos inscritos no curso. No primeiro dia, 160 alunos se inscreveram; no segundo, 240; no terceiro, 300, e assim por diante, aumentando sempre 60 alunos inscritos a cada dia. A matéria que vamos usar pra resolver isso é Progressão Aritmética, que é quando a gente tem uma sequência de números onde a diferença entre um termo e o seguinte é sempre a mesma. Vamos precisar calcular quantos dias são necessários para que a soma dessas inscrições diárias chegue a 15.000 alunos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da Progressão Aritmética (PA). O primeiro termo $ a_1 $ é 160 alunos. A diferença comum $ d $ é 60, já que a cada dia essa quantidade aumenta em 60 alunos.

Passo 3

A gente precisa descobrir em quantos dias $ n $ a soma dos alunos inscritos vai ser pelo menos 15.000. Para isso, vamos usar a fórmula da soma dos $ n $ primeiros termos de uma PA:
n

Passo 4

Vamos substituir os valores que a gente já conhece na fórmula:
15.000 = n2 times [2 times 160 + (n-1) times 60]
15.000 = n2 times [320 + 60(n-1)]

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
15.000 = n2 times (320 + 60n - 60)
15.000 = n2 times (260 + 60n)
15.000 = n2 times (60n + 260)

Passo 6

Para eliminar a fração, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2:
30.000 = n times (60n + 260)
30.000 = 60n^2 + 260n

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
60n^2 + 260n - 30.000 = 0

Passo 8

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
n = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • $ a = 60 $
  • $ b = 260 $
  • $ c = -30.000 $

Passo 9

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
De
De
De

Passo 10

Agora, vamos calcular as raízes:
n = -260 pm raiz7.267.600120
n = -260 pm 2693,59120
Ignorando a solução negativa, já que tempo não pode ser negativo:
n = 2433,59120
n approx 20,28

Passo 11

Como não dá pra ter uma fração de dia, a gente arredonda para cima. Então, o número mínimo de dias necessário para atingir 15.000 alunos inscritos é 21 dias.

Resposta

O número mínimo de dias para atingir 15.000 alunos inscritos é 21 dias.

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