Escolha alguns vetores de R^2, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.

Passo 1

Beleza! Vamos lá. O enunciado pede para a gente escolher alguns vetores no espaço R^2, ou seja, no plano cartesiano. Depois, precisamos aplicar um operador linear chamado S nesses vetores e representar tanto os vetores originais quanto suas imagens no plano. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um vetor, como representá-lo no plano cartesiano, o que é um operador linear e como aplicá-lo a um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns vetores em R^2. Um vetor em R^2 tem duas componentes, geralmente escritas como (x, y). Vamos escolher três vetores para facilitar a visualização:
  • Vetor v1 = (2, 3)
  • Vetor v2 = (-1, 4)
  • Vetor v3 = (0, -2)

Passo 3

Agora, vamos representar esses vetores no plano cartesiano. Imagine um gráfico com o eixo x horizontal e o eixo y vertical:
  • v1 = (2, 3) fica no segundo quadrante, movendo 2 unidades para a direita e 3 para cima.
  • v2 = (-1, 4) fica no segundo quadrante também, 1 unidade para a esquerda e 4 para cima.
  • v3 = (0, -2) fica no eixo y, 2 unidades abaixo da origem.

Passo 4

Vamos definir o operador S. Para esse exemplo, vamos supor que S seja a reflexão em relação ao eixo x. Isso significa que S transforma cada vetor (x, y) em (x, -y). A fórmula fica assim:
S(x, y) = (x, -y)
Esse tipo de operador é útil para entender simetrias e transformações geométricas.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o operador S a cada um dos vetores escolhidos:
  • Para v1 = (2, 3):
S(2, 3) = (2, -3)
  • Para v2 = (-1, 4):
S(-1, 4) = (-1, -4)
  • Para v3 = (0, -2):
S(0, -2) = (0, 2)

Passo 6

Vamos representar as imagens dos vetores no plano cartesiano:
  • A imagem de v1 é (2, -3), que fica 2 unidades à direita e 3 para baixo.
  • A imagem de v2 é (-1, -4), 1 unidade à esquerda e 4 para baixo.
  • A imagem de v3 é (0, 2), 2 unidades acima da origem no eixo y.

Passo 7

Observando o que aconteceu: cada vetor original foi refletido em relação ao eixo x. As componentes x permaneceram iguais, enquanto as componentes y mudaram de sinal. Isso confirma que o operador S está refletindo os vetores no eixo x, mostrando uma simetria específica no plano cartesiano.

Resposta

Aplicando o operador S, que reflete os vetores em relação ao eixo x, os vetores originais v1 = (2, 3), v2 = (-1, 4) e v3 = (0, -2) tiveram suas imagens transformadas para (2, -3), (-1, -4) e (0, 2), respectivamente, demonstrando a simetria de reflexão no plano.

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