Escolha alguns vetores de
, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador
anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.
Passo 1
Beleza! Vamos lá. O enunciado pede para a gente escolher alguns vetores no espaço
, ou seja, no plano cartesiano. Depois, precisamos aplicar um operador linear chamado
nesses vetores e representar tanto os vetores originais quanto suas imagens no plano. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um vetor, como representá-lo no plano cartesiano, o que é um operador linear e como aplicá-lo a um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns vetores em
. Um vetor em
tem duas componentes, geralmente escritas como
. Vamos escolher três vetores para facilitar a visualização:
- Vetor
- Vetor
- Vetor
Passo 3
Agora, vamos representar esses vetores no plano cartesiano. Imagine um gráfico com o eixo x horizontal e o eixo y vertical:
-
fica no segundo quadrante, movendo 2 unidades para a direita e 3 para cima. -
fica no segundo quadrante também, 1 unidade para a esquerda e 4 para cima. -
fica no eixo y, 2 unidades abaixo da origem.
Passo 4
Vamos definir o operador
. Para esse exemplo, vamos supor que
seja a reflexão em relação ao eixo x. Isso significa que
transforma cada vetor
em
. A fórmula fica assim:
Esse tipo de operador é útil para entender simetrias e transformações geométricas.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o operador
a cada um dos vetores escolhidos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Vamos representar as imagens dos vetores no plano cartesiano:
- A imagem de
é , que fica 2 unidades à direita e 3 para baixo. - A imagem de
é , 1 unidade à esquerda e 4 para baixo. - A imagem de
é , 2 unidades acima da origem no eixo y.
Passo 7
Observando o que aconteceu: cada vetor original foi refletido em relação ao eixo x. As componentes x permaneceram iguais, enquanto as componentes y mudaram de sinal. Isso confirma que o operador
está refletindo os vetores no eixo x, mostrando uma simetria específica no plano cartesiano.
Resposta
Aplicando o operador
, que reflete os vetores em relação ao eixo x, os vetores originais
,
e
tiveram suas imagens transformadas para
,
e
, respectivamente, demonstrando a simetria de reflexão no plano.
Exercícios relacionados
Seja
tal que
. Indique:
considerando
e
bases canônicas.
A hipérbole
tem focos
e
. Usando argumentos geométricos, determine a equação cartesiana da reta tangente à hipérbole no ponto
.
Plote os seguintes cilindros em
:
Curvas cônicas são dadas por um par de equações paramétricas no plano cartesiano. Determine a equação cartesiana reduzida e identifique-as nos seguintes casos:
(e)
(e)