Escolha a alternativa que contenha a área abaixo da curva f(x)=x²+6x, no intervalo [1,4]:
a.66 unidades de medida.
b.26,4 unidades de medida.
c.12 unidades de medida.
d.22/3 unidades de medida.
e.58 unidades de medida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área abaixo da curva da função $ f(x) = x^2 + 6x $ no intervalo de $ x = 1 $ até $ x = 4 $. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área sob uma curva entre dois pontos é dada pela integral definida da função nesse intervalo. Então, vamos configurar a integral de $ f(x) $ de 1 a 4:
f(x) Á

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. A integral de uma soma é igual à soma das integrais, então podemos separar:
integral (x^2 + 6x) , dx = integral x^2 , dx + integral 6x , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo individualmente:
  1. integral x^2 , dx = x^33
  2. integral 6x , dx = 6 cdot x^22 = 3x^2
Então, a integral completa fica:
x^33 + 3x^2

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
[ x^33 + 3x^2 ]1^4 = ( 4^33 + 3 cdot 4^2 ) - ( 1^33 + 3 cdot 1^2 )

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
Para $ x = 4 $:
x = 4
Para $ x = 1 $:
4^33 + 3 cdot 4^2 = 643 + 3 cdot 16 = 643 + 48 = 64 + 1443 = 2083

Passo 7

Subtraindo os dois resultados:
2083 - 103 = 1983 = 66

Resposta

A área abaixo da curva é 66 unidades de medida, ou seja, a alternativa a.

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