Escreva (a1 a2 a3 ldots ak)^-1 em notação de ciclo. Para quais valores de k cada k-ciclo será seu próprio inverso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o inverso de um ciclo de k elementos na notação de ciclo. Além disso, queremos descobrir para quais valores de k esse ciclo será igual ao seu próprio inverso. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre permutações e ciclos na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um ciclo. Em permutações, um ciclo como (a1, a2, a3, ldots, ak) significa que a1 vai para a2, a2 vai para a3, e assim por diante, até ak que volta para a1. É uma forma de representar como os elementos são rearranjados.

Passo 3

Agora, o inverso de uma permutação é aquela que desfaz a ação da permutação original. Ou seja, se aplicarmos a permutação e depois seu inverso, voltamos à posição inicial. Para encontrar o inverso de um ciclo, basta inverter a ordem dos elementos no ciclo.

Passo 4

Então, o inverso de (a1, a2, a3, ldots, ak) será (ak, ak-1, ldots, a3, a2, a1). Isso porque, na nova ordem, cada elemento retorna ao seu predecessor, desfazendo assim a permutação original.

Passo 5

Agora, queremos saber para quais valores de k o ciclo será igual ao seu próprio inverso. Ou seja, quando (a1, a2, a3, ldots, ak) = (ak, ak-1, ldots, a3, a2, a1). Isso acontece quando inverter a ordem dos elementos não muda o ciclo original.

Passo 6

Para que isso seja verdadeiro, o ciclo deve ser tal que cada par de elementos equidistantes das extremidades seja o mesmo após a inversão. Isso acontece quando o ciclo possui pares que se correspondem, o que é possível somente se k for igual a 1 ou 2.

Resposta

Portanto, cada k-ciclo será seu próprio inverso apenas quando k = 1 ou k = 2.

Exercícios relacionados

Tendo em conta os exercícios 23 e 32, mostre que as colunas de uma matriz A com m linhas constituem uma base de R^m se e só se A é uma matriz invertível.
u=a1 v1+a2 v2
ou:
(-1, k,-7)=a1(1,-3,2)+a2(2,4,-1)
Algebra linear
de onde vem o sistema:
a1+2 a2 & =-1 -3 a1+4 a2 & =k 2 a1-a2 & =-7
do qual resulta, como solução do problema proposto, k=13(a1=-3 e a2=1).
De fato:
l (-1,13,-7)=-3(1,-3,2)+1(2,4,-1) (-1,13,-7)=(-3,9,-6)+(2,4,-1) (-1,13,-7)=(-1,13,-7)
Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Dados u=(4,10,10)E e v=(1,1,4)E, calcule a projeção ortogonal de v sobre u, e decomponha v como soma de dois vetores, um paralelo a u e outro ortogonal a u.
Determinar a condição para x, y e z de modo que ( x, y, z ) seja combinaçảo linear dos vetores v1 e v2.
Solução
Devemos ter:
(x, y, z)=a1(1,-3,2)+a2(2,4,-1)
de onde vem o sistema:
r a1+2 a2=x -3 a1+4 a2=y 2 a1-a2=z
O vetor ( x, y, z) somente será combinaçâo linear de v1 e v2 se o sistema tiver solução, e isto somente ocorre se:
x-y-2 z=0
ou:
x=y+2 z
Espaços vetoriais
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Assim, todos os vetores (x, y, z) in R^3, que sāo combinações lineares de v1 e v2, têm a forma:
(y+2 z, y, z)
com y, z in R.
Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado. Observemos que os vetores v1 e v2 nâo são colineares. O vetor a1 v1 tem a direçâo de v1, e o vetor a2 v2, a direçāo de v2. Logo, todos os vetores (x, y, z) in R^3 do tipo
(x, y, z)=a1 v1+a2 v2