Escreva em notação de ciclo. Para quais valores de cada -ciclo será seu próprio inverso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o inverso de um ciclo de elementos na notação de ciclo. Além disso, queremos descobrir para quais valores de esse ciclo será igual ao seu próprio inverso. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre permutações e ciclos na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um ciclo. Em permutações, um ciclo como significa que vai para , vai para , e assim por diante, até que volta para . É uma forma de representar como os elementos são rearranjados.
Passo 3
Agora, o inverso de uma permutação é aquela que desfaz a ação da permutação original. Ou seja, se aplicarmos a permutação e depois seu inverso, voltamos à posição inicial. Para encontrar o inverso de um ciclo, basta inverter a ordem dos elementos no ciclo.
Passo 4
Então, o inverso de será . Isso porque, na nova ordem, cada elemento retorna ao seu predecessor, desfazendo assim a permutação original.
Passo 5
Agora, queremos saber para quais valores de o ciclo será igual ao seu próprio inverso. Ou seja, quando . Isso acontece quando inverter a ordem dos elementos não muda o ciclo original.
Passo 6
Para que isso seja verdadeiro, o ciclo deve ser tal que cada par de elementos equidistantes das extremidades seja o mesmo após a inversão. Isso acontece quando o ciclo possui pares que se correspondem, o que é possível somente se for igual a 1 ou 2.
Resposta
Portanto, cada -ciclo será seu próprio inverso apenas quando ou .