u=a1 v1+a2 v2
ou:
(-1, k,-7)=a1(1,-3,2)+a2(2,4,-1)
Algebra linear
de onde vem o sistema:
a1+2 a2 & =-1 -3 a1+4 a2 & =k 2 a1-a2 & =-7
do qual resulta, como solução do problema proposto, k=13(a1=-3 e a2=1).
De fato:
l (-1,13,-7)=-3(1,-3,2)+1(2,4,-1) (-1,13,-7)=(-3,9,-6)+(2,4,-1) (-1,13,-7)=(-1,13,-7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinação linear e sistemas de equações. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações com os coeficientes e e encontrar o valor de que torna essa combinação possível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa combinação linear. Queremos encontrar números (-1, k, -7) = a1(1, -3, 2) + a2(2, 4, -1) e tais que:
Isso significa que cada componente dos vetores deve ser igual. Então, vamos escrever isso componente a componente.

Passo 3

Vamos separar as equações de acordo com cada componente:
  1. Componente x:
-1 = a1 cdot 1 + a2 cdot 2 Rightarrow a1 + 2a2 = -1
  1. Componente y:
k = a1 cdot (-3) + a2 cdot 4 Rightarrow -3a1 + 4a2 = k
  1. Componente z:
-7 = a1 cdot 2 + a2 cdot (-1) Rightarrow 2a1 - a2 = -7
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas: , e .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar a1 = -1 - 2a2 , 2(-1 - 2a2) - a2 = -7 -2 - 4a2 - a2 = -7 -2 - 5a2 = -7 -5a2 = -7 + 2 -5a2 = -5 a2 = 1 e . Primeiramente, vamos resolver as duas primeiras equações para e .
Da primeira equação:
Agora, substituímos na terceira equação:

Passo 5

Com a1 = -1 - 2(1) a1 = -1 - 2 a1 = -3 , substituímos de volta na expressão para :
Agora, temos e .

Passo 6

Por último, vamos encontrar o valor de -3a1 + 4a2 = k -3(-3) + 4(1) = k 9 + 4 = k k = 13 usando a segunda equação:

Resposta

Portanto, os valores que resolvem o sistema são:
k = 13, a1 = -3, a2 = 1

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