Tendo em conta os exercícios 23 e 32, mostre que as colunas de uma matriz A com linhas constituem uma base de se e só se é uma matriz invertível.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que as colunas de uma matriz com linhas formam uma base do espaço se e somente se a matriz for invertível. Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: o que é uma base de um espaço vetorial e o que significa uma matriz ser invertível. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores base.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes invertíveis. Uma matriz com linhas e colunas (ou seja, uma matriz quadrada) é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso também implica que a matriz tem determinante diferente de zero e que suas colunas são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos começar provando que, se as colunas de formam uma base de , então é invertível. Como as colunas formam uma base, elas são linearmente independentes e geram todo o espaço . Isso significa que a matriz tem posto completo, ou seja, seu determinante é diferente de zero. Portanto, é invertível.
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se é invertível, então suas colunas formam uma base de . Como é invertível, suas colunas são linearmente independentes e o espaço gerado por elas é . Assim, as colunas de satisfazem os requisitos para serem uma base de .
Resposta
Portanto, mostramos que as colunas de uma matriz com linhas constituem uma base de se e somente se é uma matriz invertível.