Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir é uma base ortonormal.
Dados u=(4,10,10)E e v=(1,1,4)E, calcule a projeção ortogonal de v sobre u, e decomponha v como soma de dois vetores, um paralelo a u e outro ortogonal a u.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor e depois decompor em dois vetores: um paralelo a e outro perpendicular a . Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a projeção ortogonal de proju v = ( u cdot v u cdot u ) u sobre é a “sombra” de na direção de . A fórmula para calcular essa projeção é:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar de u cdot v = a times x + b times y + c times z e u cdot v = 4 times 1 + 10 times 1 + 10 times 4 = 4 + 10 + 40 = 54 . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar de u cdot u = 4 times 4 + 10 times 10 + 10 times 10 = 16 + 100 + 100 = 216 consigo mesmo, que é :
Passo 5
Com esses valores, podemos determinar a projeção de proju v = ( 54216 ) u = ( 14 ) u sobre proju v = ( 14 times 4, 14 times 10, 14 times 10 ) = (1, 2.5, 2.5) :
Multiplicando cada componente de por :
Passo 6
Agora, para decompor v = proju v + w em dois vetores, um paralelo a w = v - proju v = (1, 1, 4) - (1, 2.5, 2.5) = (0, -1.5, 1.5) e outro ortogonal a , usamos a seguinte relação:
onde é o vetor perpendicular a . Para encontrar , basta subtrair a projeção de :
Resposta
A projeção ortogonal de v = (1, 2.5, 2.5) + (0, -1.5, 1.5) sobre é . A decomposição de é: