Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Dados u=(4,10,10)E e v=(1,1,4)E, calcule a projeção ortogonal de v sobre u, e decomponha v como soma de dois vetores, um paralelo a u e outro ortogonal a u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a projeção ortogonal do vetor sobre o vetor e depois decompor em dois vetores: um paralelo a e outro perpendicular a . Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e projeção de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a projeção ortogonal de proju v = ( u cdot v u cdot u ) u sobre é a “sombra” de na direção de . A fórmula para calcular essa projeção é:

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de u cdot v = a times x + b times y + c times z e u cdot v = 4 times 1 + 10 times 1 + 10 times 4 = 4 + 10 + 40 = 54 . O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar de u cdot u = 4 times 4 + 10 times 10 + 10 times 10 = 16 + 100 + 100 = 216 consigo mesmo, que é :

Passo 5

Com esses valores, podemos determinar a projeção de proju v = ( 54216 ) u = ( 14 ) u sobre proju v = ( 14 times 4, 14 times 10, 14 times 10 ) = (1, 2.5, 2.5) :
Multiplicando cada componente de por :

Passo 6

Agora, para decompor v = proju v + w em dois vetores, um paralelo a w = v - proju v = (1, 1, 4) - (1, 2.5, 2.5) = (0, -1.5, 1.5) e outro ortogonal a , usamos a seguinte relação:
onde é o vetor perpendicular a . Para encontrar , basta subtrair a projeção de :

Resposta

A projeção ortogonal de v = (1, 2.5, 2.5) + (0, -1.5, 1.5) sobre é . A decomposição de é:
Onde é paralelo a e é ortogonal a .

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Solução
Devemos ter:
(x, y, z)=a1(1,-3,2)+a2(2,4,-1)
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r a1+2 a2=x -3 a1+4 a2=y 2 a1-a2=z
O vetor ( x, y, z) somente será combinaçâo linear de v1 e v2 se o sistema tiver solução, e isto somente ocorre se:
x-y-2 z=0
ou:
x=y+2 z
Espaços vetoriais
43
Assim, todos os vetores (x, y, z) in R^3, que sāo combinações lineares de v1 e v2, têm a forma:
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Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado. Observemos que os vetores v1 e v2 nâo são colineares. O vetor a1 v1 tem a direçâo de v1, e o vetor a2 v2, a direçāo de v2. Logo, todos os vetores (x, y, z) in R^3 do tipo
(x, y, z)=a1 v1+a2 v2
Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Sendo u=(1,4,1)E e v=(0,1,-8)E calcule
u cdot v