Escreva cada dízima periódica abaixo como: (I) Uma série infinita; (II) O quociente de dois inteiros: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma dízima periódica, que é um número decimal onde uma sequência de dígitos se repete infinitamente. O número dado é , ou seja, 0,154154154… A tarefa é:
Escrever essa dízima como uma série infinita.
Expressar a mesma dízima como o quociente de dois inteiros (uma fração).
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos sobre séries e frações.
Passo 2
I. Escrevendo a dízima periódica como uma série infinita
Uma série infinita é uma soma que continua para sempre. Vamos decompor o número em uma soma de termos que representam cada repetição da sequência “154”.
Vamos escrever o número da seguinte forma:
Aqui está a explicação:
A primeira parte é 0,154.
A próxima repetição “154” aparece depois de três casas decimais, então adicionamos 0,000154.
E assim por diante, cada nova repetição é adicionada multiplicando por (já que a sequência “154” tem 3 dígitos).
Portanto, a série infinita fica:
Passo 3
II. Expressando a dízima periódica como o quociente de dois inteiros
Para converter a dízima periódica em uma fração, seguimos estes passos:
Chame a dízima de :
Multiplique por (já que o período “154” tem 3 dígitos) para deslocar a vírgula três casas para a direita:
Subtraia a equação original de da nova equação:
Isolar :
Simplificar a fração, se possível:
Tanto 154 quanto 999 são divisíveis por 11:
E ainda simplificando:
Resposta
Portanto, a dízima periódica pode ser expressa como: