Encontre os integrais de linha sobre curvas: integralC(x^2+y^2+z^2) d s, onde C é x=a cos t, y=a sen t, z=b t, 0 <= t <= 2 pi;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular uma integral de linha sobre uma curva . A integral é , onde a curva é dada por , , e , com variando de a . Vamos usar o conteúdo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha quando a curva está parametrizada. Se a curva integralC f(x, y, z) , ds = integrala^b f(x(t), y(t), z(t)) |r'(t)| , dt é descrita por para no intervalo , então a integral de ao longo de é dada por:
Aqui, é o elemento de arco, que representa um pequeno pedaço da curva, e é a magnitude do vetor derivada da parametrização, que nos dá o tamanho desse pedaço.

Passo 3

Vamos identificar a função que queremos integrar e a parametrização da curva. Nossa função é x(t) = a cos t, y(t) = a sin t, z(t) = b t . A curva está parametrizada por:
para entre e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização r'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = ( -a sin t, a cos t, b ) em relação a |r'(t)| = raiz(-a sin t)^2 + (a cos t)^2 + b^2 = raiza^2 sin^2 t + a^2 cos^2 t + b^2 = raiza^2 (sin^2 t + cos^2 t) + b^2 = raiza^2 + b^2 :
A magnitude dessa derivada é:
Aqui usamos a identidade trigonométrica .

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da integral de linha, temos:
integralC (x^2 + y^2 + z^2) ds = integral0^2pi ( (a cos t)^2 + (a sin t)^2 + (b t)^2 ) raiza^2 + b^2 , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(a cos t)^2 + (a sin t)^2 + (b t)^2 = a^2 cos^2 t + a^2 sin^2 t + b^2 t^2 = a^2 (cos^2 t + sin^2 t) + b^2 t^2 = a^2 + b^2 t^2
Então, a integral fica:
raiza^2 + b^2 integral0^2pi ( a^2 + b^2 t^2 ) dt

Passo 6

Vamos calcular a integral separadamente:
integral0^2pi a^2 , dt + integral0^2pi b^2 t^2 , dt = a^2 [ t ]0^2pi + b^2 [ t^33 ]0^2pi = a^2 (2pi) + b^2 ( (2pi)^33 ) = 2pi a^2 + 8pi^3 b^23
Multiplicando pela constante raiza^2 + b^2 ( 2pi a^2 + 8pi^3 b^23 ) :

Resposta

A integral de linha é igual a:
raiza^2 + b^2 ( 2pi a^2 + 8pi^3 b^23 )

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