Encontre o centro de massa do fio dado pela curva C com a densidade f(x, y) : C é x = a(t - sen(t)), y = a(1 - cos(t)), 0 <= t <= pi ; f(x, y) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um fio que segue a curva . A curva está descrita pelas equações paramétricas:
E a densidade do fio é constante, .
Pra resolver isso, vamos usar os conceitos de Cálculo Integral aplicados ao Centro de Massa de uma curva parametrizada. Vamos calcular as coordenadas e que determinam o centro de massa.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o centro de massa para uma curva parametrizada. As fórmulas para as coordenadas do centro de massa são:
Aqui, é o elemento de arco da curva . Como a densidade , ela simplifica as integrais.

Passo 3

Vamos encontrar o elemento de arco . Para uma curva parametrizada por , temos:
Vamos calcular e :
Então,

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular a massa total :
Fazendo a substituição , , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Esse integral pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais.

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Esse integral também pode ser resolvido usando técnicas de integração.

Resposta

Após resolver os integrais, encontramos que o centro de massa da curva é dado por:

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