Encontre o centro de massa do fio dado pela curva com a densidade : é .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa de um fio que segue a curva . A curva está descrita pelas equações paramétricas:
E a densidade do fio é constante, .
Pra resolver isso, vamos usar os conceitos de Cálculo Integral aplicados ao Centro de Massa de uma curva parametrizada. Vamos calcular as coordenadas e que determinam o centro de massa.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o centro de massa para uma curva parametrizada. As fórmulas para as coordenadas do centro de massa são:
Aqui, é o elemento de arco da curva . Como a densidade , ela simplifica as integrais.
Passo 3
Vamos encontrar o elemento de arco. Para uma curva parametrizada por , temos:
Vamos calcular e :
Então,
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a massa total:
Fazendo a substituição , , então:
Passo 6
Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Esse integral pode ser resolvido por partes ou usando tabelas de integrais.
Passo 7
Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Esse integral também pode ser resolvido usando técnicas de integração.
Resposta
Após resolver os integrais, encontramos que o centro de massa da curva é dado por: