Escreva a definição de superfície paramentrizada.
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é para escrever a definição de superfície parametrizada. Isso faz parte do estudo de geometria ou cálculo multivariável, onde a gente analisa como representar superfícies no espaço usando parâmetros. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície no espaço tridimensional e como a gente pode usar duas variáveis (como
e
) para “parametrizar” ou descrever essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície. Imagine uma folha de papel esticada no espaço tridimensional; essa folha é uma superfície. Mais tecnicamente, uma superfície é um conjunto de pontos que formam uma figura bidimensional no espaço
.
Passo 3
Agora, o que significa parametrizar uma superfície? Basicamente, parametrizar é usar duas variáveis independentes, geralmente
e
, para representar cada ponto na superfície. Isso é super útil porque transforma a superfície em algo que a gente pode manipular matematicamente de forma mais fácil.
Passo 4
Então, uma superfície parametrizada é descrita por uma função que mapeia cada par de parâmetros
para um ponto no espaço tridimensional. Essa função geralmente é representada por três funções que dependem de
e
, correspondendo às coordenadas
,
e
desse ponto.
Passo 5
Vamos colocar isso tudo junto numa definição formal:
Uma superfície parametrizada é uma função
onde
e
variam em algum domínio
, e cada ponto
está em
. Essa função mapeia cada par
para um ponto específico na superfície, permitindo que a gente descreva toda a superfície usando essas duas variáveis.
Resposta
Uma superfície parametrizada é uma função
, onde
e
são parâmetros que variam em um domínio
, e cada ponto
está no espaço tridimensional
. Essa função mapeia cada par de parâmetros
para um ponto específico na superfície.
Exercícios relacionados
(a) Trace o gráfico da função
janela de visualização
por o gráfico parece ter na origem?
Mesmo exerć́cio que o anterior, considerando a função
.
Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por:
, sen
, em que
.
Determine uma parametrização para a superfície
, em que:
é a parte do paraboloide
que está abaixo do plano
.