Identifique e faça um esboço da superfície parametrizada por: r(u, v) = cos(u), sen u, v, em que D = {(u, v) em R^2 ; -1 <= v <= 1}.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma superfície parametrizada por com o domínio . Vamos explorar conceitos de parametrização de superfícies e entender como desenhar um esboço dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa parametrizar uma superfície. A parametrização nos dá as coordenadas em termos dos parâmetros e . Aqui, , e .

Passo 3

Observando e , percebemos que para um valor fixo de , essas equações descrevem um círculo no plano com raio 1, já que .

Passo 4

Agora, o parâmetro varia de -1 a 1. Isso significa que, enquanto desenhamos o círculo para cada , o valor de está variando de -1 a 1, ou seja, estamos “empilhando” esses círculos ao longo do eixo .

Passo 5

Juntando essas informações, a superfície descrita por é um cilindro circular de raio 1 alinhado ao longo do eixo , limitado entre e .

Resposta

A superfície parametrizada por com é um cilindro circular de raio 1 alinhado ao longo do eixo , estendido entre as alturas e . O esboço dessa superfície seria um cilindro vertical com base circular no plano e altura de 2 unidades.

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