Determine uma parametrização para a superfície , em que: é a parte do paraboloide que está abaixo do plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização para a superfície , que é a parte do paraboloide que está abaixo do plano . Isso envolve entender um pouco de geometria espacial e como representar superfícies usando parâmetros. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos considerando. A superfície é onde o paraboloide está abaixo de . Então, temos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso nos mostra que e estão dentro de um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Para facilitar a parametrização, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, e são expressos como:
onde é a distância do ponto à origem (raio) e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação do paraboloide, temos:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, definimos os limites dos parâmetros. Como , isso implica que varia de 0 a 2. E varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 6

Juntando tudo, a parametrização fica:
onde e .

Resposta

A parametrização para a superfície é:
com e .

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