Escreva a equação de cada uma das retas que possuem coeficiente angular m = -1 e são tangentes à circunferência lambda: (x + 5)² + (y - 2)² = 8. y + x + 7 = 0 ; y + x - 1 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever as equações das retas que têm coeficiente angular e são tangentes à circunferência . Para resolver isso, vamos precisar entender de geometria analítica, especificamente sobre retas tangentes a circunferências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da circunferência . A equação geral da circunferência é , onde é o centro e é o raio. Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que o centro é e o raio é .

Passo 3

Sabemos que a equação de uma reta com coeficiente angular pode ser escrita como . Como , nossa reta tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz essa reta ser tangente à circunferência .

Passo 4

Para que uma reta seja tangente a uma circunferência, a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser exatamente igual ao raio da circunferência. A fórmula para a distância entre um ponto e a reta é:
Vamos reescrever nossa equação da reta na forma geral:
Então, , , e .

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância, temos:
Sabemos que deve ser igual ao raio . Então:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo cada uma:

Passo 7

Agora que temos os valores de , podemos escrever as equações das retas tangentes:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As equações das retas são e .

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