Escreva a equação de cada uma das retas que possuem coeficiente angular
e são tangentes à circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever as equações das retas que têm coeficiente angular
e são tangentes à circunferência
. Para resolver isso, vamos precisar entender de geometria analítica, especificamente sobre retas tangentes a circunferências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da circunferência
. A equação geral da circunferência é
, onde
é o centro e
é o raio. Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que o centro
é
e o raio
é
.
Passo 3
Sabemos que a equação de uma reta com coeficiente angular
pode ser escrita como
. Como
, nossa reta tem a forma:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz essa reta ser tangente à circunferência
.
Passo 4
Para que uma reta seja tangente a uma circunferência, a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser exatamente igual ao raio da circunferência. A fórmula para a distância
entre um ponto
e a reta
é:
Vamos reescrever nossa equação da reta na forma geral:
Então,
,
, e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula da distância, temos:
Sabemos que
deve ser igual ao raio
. Então:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo cada uma:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, podemos escrever as equações das retas tangentes:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As equações das retas são
e
.