(b) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal.
57.
58.
57.
58.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a primeira equação:
. O conteúdo aqui envolve funções exponenciais e quadráticas. Para resolver isso, vamos usar uma ferramenta gráfica, ou seja, vamos desenhar os gráficos das duas funções e encontrar onde elas se cruzam, que será a raiz que procuramos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que queremos plotar:
-
— essa é uma função exponencial decrescente. -
— essa é uma função quadrática crescente.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento dessas funções:
- Para
, quando , . À medida que aumenta, diminui rapidamente. - Para
, quando , . À medida que aumenta, cresce de forma quadrática.
Passo 4
Agora, vamos traçar os gráficos das duas funções no mesmo sistema de coordenadas. Observamos que elas irão se cruzar em um ponto onde os valores de
e
são iguais. Vamos buscar esse ponto de interseção usando aproximações.
Passo 5
Testando alguns valores de
:
-
Para
: -
-
- Como
, precisamos aumentar .
-
-
Para
: -
-
- Aqui,
, então a raiz está entre 50 e 100.
-
Passo 6
Vamos refinar:
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 70 e 100.
-
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 70 e 75.
-
Passo 7
Mais uma vez:
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 70 e 72.
-
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 70 e 71.
-
Passo 8
Finalizando:
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 70,5 e 71.
-
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está próxima de 70,7.
-
Passo 9
Agora, vamos resolver a segunda equação:
. Aqui, trabalhamos com funções trigonométricas e lineares. Vamos usar uma ferramenta gráfica para encontrar onde essas duas funções se encontram.
Passo 10
Identificamos as duas funções:
-
— a função arco-tangente, que cresce lentamente e se aproxima de à medida que aumenta. -
— uma função linear decrescente.
Passo 11
Vamos analisar o comportamento das funções:
-
Para
: - Quando
, . - À medida que
aumenta, se aproxima de (aproximadamente 1,5708).
- Quando
-
Para
: - Quando
, . - À medida que
aumenta, diminui linearmente.
- Quando
Passo 12
Traçamos os gráficos das duas funções. A interseção deles nos dará o valor de
que satisfaz a equação.
Passo 13
Vamos testar alguns valores de
:
-
Para
: -
-
-
, então precisamos aumentar .
-
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 0,5 e 1.
-
Passo 14
Refinando:
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 0,5 e 0,6.
-
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 0,5 e 0,55.
-
Passo 15
Mais precisão:
-
Para
: -
-
-
, então a raiz está entre 0,52 e 0,525.
-
-
Para
: -
-
- Ainda
, ajustamos mais para encontrar onde .
-
Passo 16
Aproximando para três casas decimais:
Após alguns ajustes, encontramos que quando
está aproximadamente entre 0,520 e 0,525, as funções se cruzam. Através de iterações mais precisas, a raiz é próxima de
.
Resposta
A raiz correta da equação
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Prove que:
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) do exercício I).]
- Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função
é contínua no número 4. - Se
é contínua em , o que você pode dizer sobre seu gráfico? - (a) Do gráfico de
, identifique números nos quais é descontínua e explique por quê.
(b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine seé contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.