(b) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal.
57.
58.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira equação: . O conteúdo aqui envolve funções exponenciais e quadráticas. Para resolver isso, vamos usar uma ferramenta gráfica, ou seja, vamos desenhar os gráficos das duas funções e encontrar onde elas se cruzam, que será a raiz que procuramos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que queremos plotar:
  1. — essa é uma função exponencial decrescente.
  2. — essa é uma função quadrática crescente.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento dessas funções:
  • Para , quando , . À medida que aumenta, diminui rapidamente.
  • Para , quando , . À medida que aumenta, cresce de forma quadrática.

Passo 4

Agora, vamos traçar os gráficos das duas funções no mesmo sistema de coordenadas. Observamos que elas irão se cruzar em um ponto onde os valores de e são iguais. Vamos buscar esse ponto de interseção usando aproximações.

Passo 5

Testando alguns valores de :
  • Para :
    • Como , precisamos aumentar .
  • Para :
    • Aqui, , então a raiz está entre 50 e 100.

Passo 6

Vamos refinar:
  • Para :
    • , então a raiz está entre 70 e 100.
  • Para :
    • , então a raiz está entre 70 e 75.

Passo 7

Mais uma vez:
  • Para :
    • , então a raiz está entre 70 e 72.
  • Para :
    • , então a raiz está entre 70 e 71.

Passo 8

Finalizando:
  • Para :
    • , então a raiz está entre 70,5 e 71.
  • Para :
    • , então a raiz está próxima de 70,7.

Passo 9

Agora, vamos resolver a segunda equação: . Aqui, trabalhamos com funções trigonométricas e lineares. Vamos usar uma ferramenta gráfica para encontrar onde essas duas funções se encontram.

Passo 10

Identificamos as duas funções:
  1. — a função arco-tangente, que cresce lentamente e se aproxima de à medida que aumenta.
  2. — uma função linear decrescente.

Passo 11

Vamos analisar o comportamento das funções:
  • Para :
    • Quando , .
    • À medida que aumenta, se aproxima de (aproximadamente 1,5708).
  • Para :
    • Quando , .
    • À medida que aumenta, diminui linearmente.

Passo 12

Traçamos os gráficos das duas funções. A interseção deles nos dará o valor de que satisfaz a equação.

Passo 13

Vamos testar alguns valores de :
  • Para :
    • , então precisamos aumentar .
  • Para :
    • , então a raiz está entre 0,5 e 1.

Passo 14

Refinando:
  • Para :
    • , então a raiz está entre 0,5 e 0,6.
  • Para :
    • , então a raiz está entre 0,5 e 0,55.

Passo 15

Mais precisão:
  • Para :
    • , então a raiz está entre 0,52 e 0,525.
  • Para :
    • Ainda , ajustamos mais para encontrar onde .

Passo 16

Aproximando para três casas decimais:
Após alguns ajustes, encontramos que quando está aproximadamente entre 0,520 e 0,525, as funções se cruzam. Através de iterações mais precisas, a raiz é próxima de .

Resposta

A raiz correta da equação é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Prove que:
[Use o resultado acima para calcular a integral 5) do exercício I).]
  1. Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função é contínua no número 4.
  2. Se é contínua em , o que você pode dizer sobre seu gráfico?
  3. (a) Do gráfico de , identifique números nos quais é descontínua e explique por quê.
    (b) Para cada um dos números indicados na parte (a), determine se é contínua à direita ou à esquerda, ou nenhum deles.