Se u, v, w in V são tais que (u-w) perp(v-w),|u-w|=5 e |v-w|=2 raiz6, então |T(u)-T(v)| pertence a qual dos seguintes intervalos?
(Sugestão: Use o (A) [0,1)
(B) [1,2)
© [2,3)
(D) [3,4)
(E) [4,5)
(F) [5,6)
(G) [6,7)
(H) [7,8)
(I) [8,9)
(J) [9,10)
(K) [10,11)
(L) [11,12)
(M)[12,13)
(N) [13,+infty)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três vetores em um espaço vetorial . Sabemos que o vetor é perpendicular a , ou seja, . Também conhecemos as normas desses vetores: e . O que precisamos encontrar é o valor de , onde é uma transformação linear que preserva as propriedades de perpendicularidade e normas dos vetores. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Pitágoras e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, como |u - v|^2 = |u - w|^2 + |v - w|^2 , podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a norma de |u - v|^2 = 5^2 + (2raiz6)^2 = 25 + 24 = 49 . Pelo teorema:
|u - v| = raiz49 = 7
Substituindo os valores que temos:
Então,

Passo 3

Agora, considerando a transformação linear |T(u - v)| = |u - v| = 7 que preserva normas, ou seja, T(u - v) = T(u) - T(v) para qualquer vetor |T(u) - T(v)| = 7 em , podemos aplicar isso diretamente a :
Mas sabemos que é uma transformação linear, então:
Portanto,

Resposta

A norma é 7, que pertence ao intervalo [7,8).

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