(a) Escreva a equação de movimento de um oscilador harmônico simples não amortecido ao qual se aplica a força
. (b) Verifique que sua solução é
Discuta a ressonância neste caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente lidar com um oscilador harmônico simples não amortecido que está sendo forçado por uma força externa do tipo
. Isso significa que estamos trabalhando com movimento harmônico sob a ação de uma força periódica. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento para oscilações forçadas e entender como a frequência da força externa afeta o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do movimento para esse oscilador. Em um sistema não amortecido, a única força restauradora é a da mola, que segue a Lei de Hooke (
), onde
é a constante da mola e
é o deslocamento. Além disso, temos a força externa
.
A segunda lei de Newton nos dá:
Aqui,
é a massa do oscilador.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial:
Onde
é a frequência natural do oscilador.
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é a soma da solução da homogênea (sem a força externa) e da solução particular (devido à força externa).
Para a solução homogênea:
Mas como o sistema é não amortecido e estamos interessados na solução estacionária a longo prazo, podemos focar apenas na solução particular.
Passo 5
Proponho uma solução particular do tipo:
Vamos derivar duas vezes:
Passo 6
Substituindo
e sua segunda derivada na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Podemos cancelar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Essa é a solução que o enunciado pediu para verificar!
Resposta
A solução do movimento é:
Sobre a ressonância, ela ocorre quando a frequência da força externa
se aproxima da frequência natural
do sistema. Nesse caso, o denominador
fica muito pequeno, fazendo com que a amplitude da oscilação
aumente significativamente. Isso pode levar a oscilações muito grandes, o que é o fenômeno conhecido como ressonância.