(a) Escreva a equação de movimento de um oscilador harmônico simples não amortecido ao qual se aplica a força F=F0 cos omegaf t. (b) Verifique que sua solução é
x=F0m(omega0^2-omegaf^2) cos omegaf t
Discuta a ressonância neste caso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente lidar com um oscilador harmônico simples não amortecido que está sendo forçado por uma força externa do tipo . Isso significa que estamos trabalhando com movimento harmônico sob a ação de uma força periódica. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações do movimento para oscilações forçadas e entender como a frequência da força externa afeta o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do movimento para esse oscilador. Em um sistema não amortecido, a única força restauradora é a da mola, que segue a Lei de Hooke ( m d^2xdt^2 = -k x + F0 cos omegaf t ), onde é a constante da mola e é o deslocamento. Além disso, temos a força externa .
A segunda lei de Newton nos dá:
Aqui, é a massa do oscilador.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial:
d^2xdt^2 + omega0^2 x = F0m cos omegaf t
Onde é a frequência natural do oscilador.

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. A solução geral é a soma da solução da homogênea (sem a força externa) e da solução particular (devido à força externa).
Para a solução homogênea:
xh(t) = A cos omega0 t + B sin omega0 t
Mas como o sistema é não amortecido e estamos interessados na solução estacionária a longo prazo, podemos focar apenas na solução particular.

Passo 5

Proponho uma solução particular do tipo:
xp(t) = C cos omegaf t
Vamos derivar duas vezes:
d^2xpdt^2 = -C omegaf^2 cos omegaf t

Passo 6

Substituindo -C omegaf^2 cos omegaf t + omega0^2 C cos omegaf t = F0m cos omegaf t e sua segunda derivada na equação diferencial:
C (omega0^2 - omegaf^2) cos omegaf t = F0m cos omegaf t
Simplificando:

Passo 7

Podemos cancelar C (omega0^2 - omegaf^2) = F0m dos dois lados:
C = F0m (omega0^2 - omegaf^2)
Resolvendo para :

Passo 8

Então, a solução particular é:
x(t) = F0m (omega0^2 - omegaf^2) cos omegaf t
Essa é a solução que o enunciado pediu para verificar!

Resposta

A solução do movimento é:
x = F0m(omega0^2-omegaf^2) cos omegaf t
Sobre a ressonância, ela ocorre quando a frequência da força externa se aproxima da frequência natural do sistema. Nesse caso, o denominador fica muito pequeno, fazendo com que a amplitude da oscilação aumente significativamente. Isso pode levar a oscilações muito grandes, o que é o fenômeno conhecido como ressonância.

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