Para a equação x(t)=xm cos (omega t+phi), suponha que a amplitude xm é dada por
xm=Fm[m^2(omega^2-omega0^2)^2+b^2 omega^2]^1 / 2
onde Fm é a amplitude da força externa oscilante exercida sobre a mola. Na ressonância, qual é (a) a amplitude e (b) a amplitude da velocidade do objeto?
\footnotetext{
^1 sin alpha é a função seno de argumento alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de movimentos harmônicos forçados em física, especificamente sobre a amplitude do deslocamento e da velocidade de um objeto em ressonância. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da amplitude e como ela se comporta quando o sistema está na ressonância, ou seja, quando a frequência da força externa ( ) é igual à frequência natural do sistema ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a fórmula dada para a amplitude xm = Fm[m^2 ( omega^2 - omega0^2 )^2 + b^2 omega^2]^1/2 :
Aqui, é a amplitude da força externa, é a massa do objeto, é a frequência da força externa, é a frequência natural do sistema, e é o coeficiente de amortecimento.

Passo 3

Na ressonância, a frequência da força externa é igual à frequência natural do sistema, ou seja, xm = Fm[m^2 ( omega0^2 - omega0^2 )^2 + b^2 omega0^2]^1/2 . Vamos substituir na fórmula da amplitude :

Passo 4

Simplificando dentro do denominador:
omega^2 - omega0^2 = omega0^2 - omega0^2 = 0
Portanto, a expressão fica:
xm = Fm[0 + b^2 omega0^2]^1/2 = Fmb omega0
Então, na ressonância, a amplitude do deslocamento xm = Fmb omega0 é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a amplitude da velocidade v(t) = dx(t)dt = -xm omega sin(omega t + phi) . Sabemos que a velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo. Como vm = xm omega , a velocidade será:
A amplitude da velocidade é o coeficiente que multiplica a função seno, ou seja:

Passo 6

Já encontramos vm = Fmb omega0 times omega0 = Fmb na ressonância, que é vm = Fmb . Substituindo na expressão de :
Portanto, a amplitude da velocidade na ressonância é:

Resposta

a) A amplitude do deslocamento na resson��ncia é .
b) A amplitude da velocidade do objeto na ressonância é .

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