Utilizando a forma trigonométrica de z1 e z2, reescreva a constante complexa C na forma Ae^ivarphi, definindo A e varphi.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem duas formas trigonométricas de números complexos, z1 e z2, e precisa reescrever uma constante complexa C na forma Ae^ivarphi. Isso envolve trabalhar com números complexos na forma trigonométrica e na forma exponencial, e saber como converter de uma para a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a forma trigonométrica de um número complexo. Um número complexo z na forma trigonométrica é dado por:
z = A (cos varphi + i sin varphi)
Aqui, A é o módulo do número complexo (ou seja, a distância até a origem no plano complexo), e varphi é o argumento (ou ângulo) que ele faz com o eixo real positivo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da forma exponencial dos números complexos, que é baseada na fórmula de Euler. A fórmula de Euler diz que:
e^ivarphi = cos varphi + i sin varphi
Isso significa que podemos reescrever a forma trigonométrica usando a exponencial:
z = A e^ivarphi
Então, ao invés de escrevermos z como A (cos varphi + i sin varphi), podemos simplesmente usar a notação exponencial Ae^ivarphi.

Passo 4

Com isso em mente, se a constante complexa C for uma combinação de z1 e z2, podemos usar essa relação para reescrever C na forma exponencial. Por exemplo, se C = z1 cdot z2, então:
C = A1 e^ivarphi1 cdot A2 e^ivarphi2 = (A1 A2) e^i(varphi1 + varphi2)
Aqui, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos conforme as propriedades dos números complexos na forma exponencial.

Resposta

Portanto, a constante complexa C reescrita na forma Ae^ivarphi tem o módulo A = A1 A2 e o argumento varphi = varphi1 + varphi2, considerando que C = z1 cdot z2. Assim, C = (A1 A2) e^i(varphi1 + varphi2).

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