Utilizando a forma trigonométrica de
e
, reescreva a constante complexa
na forma
, definindo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem duas formas trigonométricas de números complexos,
e
, e precisa reescrever uma constante complexa
na forma
. Isso envolve trabalhar com números complexos na forma trigonométrica e na forma exponencial, e saber como converter de uma para a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a forma trigonométrica de um número complexo. Um número complexo
na forma trigonométrica é dado por:
Aqui,
é o módulo do número complexo (ou seja, a distância até a origem no plano complexo), e
é o argumento (ou ângulo) que ele faz com o eixo real positivo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da forma exponencial dos números complexos, que é baseada na fórmula de Euler. A fórmula de Euler diz que:
Isso significa que podemos reescrever a forma trigonométrica usando a exponencial:
Então, ao invés de escrevermos
como
, podemos simplesmente usar a notação exponencial
.
Passo 4
Com isso em mente, se a constante complexa
for uma combinação de
e
, podemos usar essa relação para reescrever
na forma exponencial. Por exemplo, se
, então:
Aqui, multiplicamos os módulos e somamos os argumentos conforme as propriedades dos números complexos na forma exponencial.
Resposta
Portanto, a constante complexa
reescrita na forma
tem o módulo
e o argumento
, considerando que
. Assim,
.