Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Simplifique as expressões:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três matrizes quadradas
e
de mesma ordem. Nosso objetivo é simplificar a expressão:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de transposição de matrizes e operações com escalares. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte interna da primeira grande expressão:
Aqui, estamos multiplicando um escalar (3) por uma soma de matrizes. A propriedade que usamos é que um escalar pode ser distribuído dentro da soma. Então:
Passo 3
Agora, temos a transposta dessa expressão simplificada:
A propriedade de transposição que usamos aqui é que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. Portanto:
Lembre-se que a transposta de uma transposta retorna a matriz original, ou seja,
.
Passo 4
Agora, multiplicamos a matriz
pela transposta que acabamos de encontrar:
Aqui, aplicamos a propriedade da distributividade na multiplicação de matrizes:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda grande expressão da subtração:
Primeiro, observamos que
. Aplicando a transposta, temos:
Novamente, usamos
.
Passo 6
Agora, juntamos tudo na expressão original:
Distribuímos o sinal de subtração:
Passo 7
Finalmente, simplificamos combinando os termos semelhantes:
Resposta
A expressão simplificada é: