Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Simplifique as expressões: A[3(A^t+13 B)]^t-(B A^t+2 A^t A^t)^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três matrizes quadradas A[3(A^t+13 B)]^t-(B A^t+2 A^t A^t)^t e de mesma ordem. Nosso objetivo é simplificar a expressão:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de transposição de matrizes e operações com escalares. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte interna da primeira grande expressão:
3(A^t + 13 B)
Aqui, estamos multiplicando um escalar (3) por uma soma de matrizes. A propriedade que usamos é que um escalar pode ser distribuído dentro da soma. Então:
3A^t + 3 cdot 13 B = 3A^t + B

Passo 3

Agora, temos a transposta dessa expressão simplificada:
[3A^t + B]^t
A propriedade de transposição que usamos aqui é que a transposta de uma soma é igual à soma das transpostas. Portanto:
(3A^t)^t + B^t = 3A + B^t
Lembre-se que a transposta de uma transposta retorna a matriz original, ou seja, .

Passo 4

Agora, multiplicamos a matriz A cdot (3A + B^t) pela transposta que acabamos de encontrar:
3A cdot A + A cdot B^t = 3A^2 + AB^t
Aqui, aplicamos a propriedade da distributividade na multiplicação de matrizes:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda grande expressão da subtração:
(B A^t + 2 A^t A^t)^t
Primeiro, observamos que (B A^t)^t + (2 (A^t)^2)^t = (A^t)^t B^t + 2 (A^t A^t)^t = A B^t + 2 (A^t)^t (A^t)^t = A B^t + 2 A A . Aplicando a transposta, temos:
Novamente, usamos .

Passo 6

Agora, juntamos tudo na expressão original:
3A^2 + AB^t - (A B^t + 2 A^2)
Distribuímos o sinal de subtração:
3A^2 + AB^t - A B^t - 2 A^2

Passo 7

Finalmente, simplificamos combinando os termos semelhantes:
(3A^2 - 2A^2) + (AB^t - AB^t) = A^2 + 0 = A^2

Resposta

A expressão simplificada é:
A^2

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