Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
k) x+4 y^2-3 z^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma superfície no espaço: . Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de superfície quadrática (ou quádrcica) isso representa e fazer um esboço de como ela se parece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre as diferentes quádricas e suas formas padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar deixar a equação numa forma que a gente conheça melhor. A equação dada é:
x + 4y^2 - 3z^2 = 0
Podemos rearranjar isso para isolar o x = -4y^2 + 3z^2 :

Passo 3

Agora, vamos comparar essa forma com as formas padrão das quádricas. A forma geral da equação que acabamos de obter é:
x = Ay^2 + Bz^2
Onde e . Quando temos uma equação assim, ela representa um paraboloide hiperbólico. Isso porque os coeficientes de e têm sinais opostos (um negativo e outro positivo), o que caracteriza essa superfície.

Passo 4

Vamos falar um pouco sobre o paraboloide hiperbólico para entender melhor. Esse tipo de superfície parece uma sela de cavalo e é definido pela equação:
x = Ay^2 + Bz^2
Quando e têm sinais diferentes, a superfície tem duas direções curvas opostas, formando assim a “sela”.

Passo 5

Agora, para esboçar o gráfico, seguimos alguns passos:
  1. Interseção com os planos coordenados:
    • Plano : , que é uma parábola.
    • Plano : , que também é uma parábola, mas aberta na direção oposta.
  2. Simetria: A superfície é simétrica em relação aos eixos e .
  3. Forma geral: Como mencionamos, a “sela” forma-se pelas curvas das parábolas nos diferentes planos.

Resposta

A quádrcica é um paraboloide hiperbólico. Seu gráfico se parece com uma sela, com curvas abertas em sentidos opostos nos eixos e .

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