Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
k)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma superfície no espaço:
. Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de superfície quadrática (ou quádrcica) isso representa e fazer um esboço de como ela se parece. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre as diferentes quádricas e suas formas padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar deixar a equação numa forma que a gente conheça melhor. A equação dada é:
Podemos rearranjar isso para isolar o
:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa forma com as formas padrão das quádricas. A forma geral da equação que acabamos de obter é:
Onde
e
. Quando temos uma equação assim, ela representa um paraboloide hiperbólico. Isso porque os coeficientes de
e
têm sinais opostos (um negativo e outro positivo), o que caracteriza essa superfície.
Passo 4
Vamos falar um pouco sobre o paraboloide hiperbólico para entender melhor. Esse tipo de superfície parece uma sela de cavalo e é definido pela equação:
Quando
e
têm sinais diferentes, a superfície tem duas direções curvas opostas, formando assim a “sela”.
Passo 5
Agora, para esboçar o gráfico, seguimos alguns passos:
-
Interseção com os planos coordenados:
- Plano
: , que é uma parábola. - Plano
: , que também é uma parábola, mas aberta na direção oposta.
- Plano
-
Simetria: A superfície é simétrica em relação aos eixos
e . -
Forma geral: Como mencionamos, a “sela” forma-se pelas curvas das parábolas nos diferentes planos.
Resposta
A quádrcica
é um paraboloide hiperbólico. Seu gráfico se parece com uma sela, com curvas abertas em sentidos opostos nos eixos
e
.