Verifique que a função:
é uma solução da equação de Schrödinger na região para uma partícula que se move livremente, mas está confinada nesta região. Determine a energia associada ao estado cuja a função de onda é acima. Encontre a constante de normalização A.
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se uma certa função é solução da equação de Schrödinger na região onde a partícula está confinada, ou seja, entre e . Além disso, precisamos determinar a energia associada a esse estado e encontrar a constante de normalização . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de mecânica quântica, especialmente sobre partículas em uma caixa (ou poço infinito). Vamos também utilizar conceitos de funções de onda e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre confinada em uma região:
Aqui, é a função de onda, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula e é a energia da partícula.

Passo 3

Sabemos que a solução geral para essa equação em uma caixa de largura é uma função senoidal. Então, assumimos que a função de onda tem a forma:
onde é a constante de normalização e é um número inteiro positivo.

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa função é realmente uma solução da equação de Schrödinger. Para isso, calculamos a segunda derivada da função de onda:

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger:
Simplificando:

Passo 6

Comparando os dois lados da equação, concluímos que a energia associada a esse estado é:
Dado que o enunciado fornece , identificamos que .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a constante de normalização . A normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre toda a região seja igual a 1:
Substituindo :

Passo 8

Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Então:

Resposta

A energia associada ao estado é e a constante de normalização é .

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