Verifique que a função:
é uma solução da equação de Schrödinger na região -a2 <= x <=+a2 para uma partícula que se move livremente, mas está confinada nesta região. Determine a energia associada ao estado cuja a função de onda é Psi(x, t) acima. Encontre a constante de normalização A.
Resp: E=8 hbar^2 pi^2m a^2, A=raiz2a

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se uma certa função é solução da equação de Schrödinger na região onde a partícula está confinada, ou seja, entre -a2 e +a2. Além disso, precisamos determinar a energia associada a esse estado e encontrar a constante de normalização A. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de mecânica quântica, especialmente sobre partículas em uma caixa (ou poço infinito). Vamos também utilizar conceitos de funções de onda e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre confinada em uma região:
-hbar^22m d^2 Psi(x)dx^2 = E Psi(x)
Aqui, Psi(x) é a função de onda, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula e E é a energia da partícula.

Passo 3

Sabemos que a solução geral para essa equação em uma caixa de largura a é uma função senoidal. Então, assumimos que a função de onda tem a forma:
Psi(x) = A sin(npi xa)
onde A é a constante de normalização e n é um número inteiro positivo.

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa função é realmente uma solução da equação de Schrödinger. Para isso, calculamos a segunda derivada da função de onda:
d^2 Psi(x)dx^2 = -A (npia)^2 sin(npi xa) = -(npia)^2 Psi(x)

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger:
-hbar^22m (-(npia)^2 Psi(x)) = E Psi(x)
Simplificando:
hbar^2 n^2 pi^22m a^2 Psi(x) = E Psi(x)

Passo 6

Comparando os dois lados da equação, concluímos que a energia E associada a esse estado é:
E = hbar^2 n^2 pi^22m a^2
Dado que o enunciado fornece E = 8 hbar^2 pi^2m a^2, identificamos que n=2.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a constante de normalização A. A normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre toda a região seja igual a 1:
integral-a/2^a/2 |Psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo Psi(x):
A^2 integral-a/2^a/2 sin^2(2pi xa) dx = 1

Passo 8

Calculando a integral:
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C
Aplicando os limites de integração:
A^2 [ a2 ] = 1
Então:
A^2 a2 = 1 implies A^2 = 2a implies A = raiz2a

Resposta

A energia associada ao estado é E = dfrac8 hbar^2 pi^2m a^2 e a constante de normalização é A = raizdfrac2a.

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