Verifique que a função:
é uma solução da equação de Schrödinger na região
para uma partícula que se move livremente, mas está confinada nesta região. Determine a energia associada ao estado cuja a função de onda é
acima. Encontre a constante de normalização A.
Resp:
é uma solução da equação de Schrödinger na região
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se uma certa função é solução da equação de Schrödinger na região onde a partícula está confinada, ou seja, entre
e
. Além disso, precisamos determinar a energia associada a esse estado e encontrar a constante de normalização
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de mecânica quântica, especialmente sobre partículas em uma caixa (ou poço infinito). Vamos também utilizar conceitos de funções de onda e normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre confinada em uma região:
Aqui,
é a função de onda,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula e
é a energia da partícula.
Passo 3
Sabemos que a solução geral para essa equação em uma caixa de largura
é uma função senoidal. Então, assumimos que a função de onda tem a forma:
onde
é a constante de normalização e
é um número inteiro positivo.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa função é realmente uma solução da equação de Schrödinger. Para isso, calculamos a segunda derivada da função de onda:
Passo 5
Substituindo a segunda derivada na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Passo 6
Comparando os dois lados da equação, concluímos que a energia
associada a esse estado é:
Dado que o enunciado fornece
, identificamos que
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a constante de normalização
. A normalização exige que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre toda a região seja igual a 1:
Substituindo
:
Passo 8
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Então:
Resposta
A energia associada ao estado é
e a constante de normalização é
.
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