Escreva uma equação da superfície gerada pela rotação da parábola em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever a equação da superfície que surge quando giramos a parábola ao redor do eixo . Vou te explicar passo a passo como fazer isso. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies de rotação e como aplicar equações matemáticas para descrevê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a parábola no plano , onde . Essa parábola abre para cima no eixo .

Passo 3

Quando giramos essa parábola ao redor do eixo , cada ponto na parábola vai gerar um círculo no espaço, mantendo a mesma distância do eixo . Essa distância é dada pela coordenada , que no nosso caso é .

Passo 4

Como a rotação é simétrica ao redor do eixo , a equação da superfície resultante deve depender apenas de e . Substituindo na equação da parábola, temos:
Mas lembrando que , então:

Resposta

A equação da superfície gerada é .

Exercícios relacionados

Escreva uma equação do plano paralelo ao plano e que contém o ponto .
Verifique que .
Determine a interseção dos planos e .
Reduza cada uma das equações seguintes à forma canônica e identifique e esboce o gráfico da quádrica que ela representa: .