Escreva uma equação da superfície gerada pela rotação da parábola
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever a equação da superfície que surge quando giramos a parábola
ao redor do eixo
. Vou te explicar passo a passo como fazer isso. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies de rotação e como aplicar equações matemáticas para descrevê-las.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a parábola
no plano
, onde
. Essa parábola abre para cima no eixo
.
Passo 3
Quando giramos essa parábola ao redor do eixo
, cada ponto
na parábola vai gerar um círculo no espaço, mantendo a mesma distância do eixo
. Essa distância é dada pela coordenada
, que no nosso caso é
.
Passo 4
Como a rotação é simétrica ao redor do eixo
, a equação da superfície resultante deve depender apenas de
e
. Substituindo
na equação da parábola, temos:
Mas lembrando que
, então:
Resposta
A equação da superfície gerada é
.
Exercícios relacionados
Escreva uma equação do plano paralelo ao plano
e que contém o ponto
.
Verifique que
.
Determine a interseção dos planos
e
.
Reduza cada uma das equações seguintes à forma canônica e identifique e esboce o gráfico da quádrica que ela representa:
.