Escreva uma equação da superfície gerada pela rotação da parábola z=4 x^2, y=0 em torno do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever a equação da superfície que surge quando giramos a parábola ao redor do eixo . Vou te explicar passo a passo como fazer isso. Vamos precisar entender um pouco sobre superfícies de rotação e como aplicar equações matemáticas para descrevê-las.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a parábola no plano , onde . Essa parábola abre para cima no eixo .

Passo 3

Quando giramos essa parábola ao redor do eixo , cada ponto na parábola vai gerar um círculo no espaço, mantendo a mesma distância do eixo . Essa distância é dada pela coordenada , que no nosso caso é .

Passo 4

Como a rotação é simétrica ao redor do eixo z = 4r^2 , a equação da superfície resultante deve depender apenas de z = 4(x^2 + y^2) e . Substituindo na equação da parábola, temos:
Mas lembrando que , então:

Resposta

A equação da superfície gerada é .

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