Verifique que u cdot(v times w)=-u cdot(w times v).

Passo 1

Vamos verificar que o produto escalar de u com o produto vetorial de v e w é igual ao negativo do produto escalar de u com o produto vetorial de w e v. Para isso, vamos usar as propriedades dos produtos vetorial e escalar. Precisaremos entender que o produto vetorial é anticomutativo e como o produto escalar funciona com o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o produto vetorial entre dois vetores v e w é anticomutativo. Isso significa que:
v times w = - (w times v)
Essa propriedade é fundamental para a nossa verificação.

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão que precisamos verificar:
u cdot (v times w) = - u cdot (w times v)
Queremos mostrar que o lado esquerdo da igualdade é igual ao lado direito.

Passo 4

Utilizando a propriedade anticomutativa do produto vetorial que mencionamos no Passo 2, substituímos v × w por -(w × v) na expressão original:
u cdot (v times w) = u cdot (- (w times v))

Passo 5

Agora, podemos fatorar o - fora do produto escalar, pois a operação de escalar com um número negativo é distribuída sobre o produto escalar:
u cdot (- (w times v)) = - (u cdot (w times v))

Resposta

Assim, verificamos que:
u cdot (v times w) = - u cdot (w times v)

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