Reduza cada uma das equações seguintes à forma canônica e identifique e esboce o gráfico da quádrica que ela representa: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação para a forma canônica e identificar que tipo de quádricas ela representa. Isso está relacionado com o estudo das quádricas na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para que fique mais fácil de identificar a forma padrão de uma quádrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4. Isso vai ajudar a deixar os coeficientes de e iguais a 1.
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a forma canônica que obtivemos:
Essa equação está na forma padrão de uma esfera, que é:
onde é o centro da esfera e é o raio. Mas, no nosso caso, os denominadores são diferentes para . Isso indica que não é uma esfera.
Na verdade, como todos os termos têm sinais positivos e são somados igual a 1, mas os coeficientes são diferentes, isso representa um elipsoide.
Passo 4
Para identificar o tipo de quádricas, lembramos que:
Se todos os coeficientes dos termos quadráticos são iguais, é uma esfera.
Se dois coeficientes são iguais e o terceiro é diferente, é um elipsoide.
Se um dos coeficientes é diferente dos outros dois e tem sinal diferente, pode ser um hiperbolóide ou paraboloide, dependendo da situação.
No nosso caso, como os coeficientes de e são iguais e diferentes do de , e todos são positivos, estamos lidando com um elipsoide.
Passo 5
Agora, vamos identificar o centro e os eixos do elipsoide. A forma canônica que obtivemos é:
Comparando com a forma padrão do elipsoide:
vemos que:
Centro:
Eixos principais:
Eixo : comprimento
Eixo : comprimento
Eixo : comprimento (já que )
Resposta
A equação reduzida à forma canônica é . Essa equação representa um elipsoide centrado na origem , com eixos de comprimentos 2 unidades ao longo do eixo e 2 unidades ao longo dos eixos e .