Reduza cada uma das equações seguintes à forma canônica e identifique e esboce o gráfico da quádrica que ela representa: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação para a forma canônica e identificar que tipo de quádricas ela representa. Isso está relacionado com o estudo das quádricas na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para que fique mais fácil de identificar a forma padrão de uma quádrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4. Isso vai ajudar a deixar os coeficientes de e iguais a 1.
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a forma canônica que obtivemos:
Essa equação está na forma padrão de uma esfera, que é:
onde é o centro da esfera e é o raio. Mas, no nosso caso, os denominadores são diferentes para . Isso indica que não é uma esfera.
Na verdade, como todos os termos têm sinais positivos e são somados igual a 1, mas os coeficientes são diferentes, isso representa um elipsoide.

Passo 4

Para identificar o tipo de quádricas, lembramos que:
  • Se todos os coeficientes dos termos quadráticos são iguais, é uma esfera.
  • Se dois coeficientes são iguais e o terceiro é diferente, é um elipsoide.
  • Se um dos coeficientes é diferente dos outros dois e tem sinal diferente, pode ser um hiperbolóide ou paraboloide, dependendo da situação.
No nosso caso, como os coeficientes de e são iguais e diferentes do de , e todos são positivos, estamos lidando com um elipsoide.

Passo 5

Agora, vamos identificar o centro e os eixos do elipsoide. A forma canônica que obtivemos é:
Comparando com a forma padrão do elipsoide:
vemos que:
  • Centro:
  • Eixos principais:
    • Eixo : comprimento
    • Eixo : comprimento
    • Eixo : comprimento (já que )

Resposta

A equação reduzida à forma canônica é . Essa equação representa um elipsoide centrado na origem , com eixos de comprimentos 2 unidades ao longo do eixo e 2 unidades ao longo dos eixos e .

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