Reduza cada uma das equações seguintes à forma canônica e identifique e esboce o gráfico da quádrica que ela representa: 4 x^2+4 y^2+z^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a equação 4x^2 + 4y^2 + z^2 = 4 para a forma canônica e identificar que tipo de quádricas ela representa. Isso está relacionado com o estudo das quádricas na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para que fique mais fácil de identificar a forma padrão de uma quádrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4. Isso vai ajudar a deixar os coeficientes de x^2 e y^2 iguais a 1.
4x^24 + 4y^24 + z^24 = 44
Simplificando, temos:
x^2 + y^2 + z^24 = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar a forma canônica que obtivemos:
x^21 + y^21 + z^24 = 1
Essa equação está na forma padrão de uma esfera, que é:
(x - h)^2r^2 + (y - k)^2r^2 + (z - l)^2r^2 = 1
onde (h, k, l) é o centro da esfera e r é o raio. Mas, no nosso caso, os denominadores são diferentes para z^2. Isso indica que não é uma esfera.
Na verdade, como todos os termos têm sinais positivos e são somados igual a 1, mas os coeficientes são diferentes, isso representa um elipsoide.

Passo 4

Para identificar o tipo de quádricas, lembramos que:
  • Se todos os coeficientes dos termos quadráticos são iguais, é uma esfera.
  • Se dois coeficientes são iguais e o terceiro é diferente, é um elipsoide.
  • Se um dos coeficientes é diferente dos outros dois e tem sinal diferente, pode ser um hiperbolóide ou paraboloide, dependendo da situação.
No nosso caso, como os coeficientes de x^2 e y^2 são iguais e diferentes do de z^2, e todos são positivos, estamos lidando com um elipsoide.

Passo 5

Agora, vamos identificar o centro e os eixos do elipsoide. A forma canônica que obtivemos é:
x^21 + y^21 + z^24 = 1
Comparando com a forma padrão do elipsoide:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 = 1
vemos que:
  • Centro: (0, 0, 0)
  • Eixos principais:
    • Eixo x: comprimento a = 1
    • Eixo y: comprimento b = 1
    • Eixo z: comprimento c = 2 (já que c^2 = 4)

Resposta

A equação 4x^2 + 4y^2 + z^2 = 4 reduzida à forma canônica é x^21 + y^21 + z^24 = 1. Essa equação representa um elipsoide centrado na origem (0, 0, 0), com eixos de comprimentos 2 unidades ao longo do eixo z e 2 unidades ao longo dos eixos x e y.

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